Given a right-infinite word $\bf x$ over a finite alphabet $A$, the rank of $\bf x$ is the size of the smallest set $S$ of words over $A$ such that $\bf x$ can be realized as an infinite concatenation of words in $S$. We show that the property of having rank two is decidable for the class of $k$-automatic words for each integer $k\ge 2$.

中文翻译：

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排名二的自动序列

给定一个有限字母表 $A$ 上的右无限词 $\bf x$，$\bf x$ 的秩是 $A$ 上的单词的最小集合 $S$ 的大小，使得 $\bf x$可以实现为 $S$ 中单词的无限串联。我们表明，对于每个整数 $k\ge 2$ 的 $k$-自动词类，具有排名第二的属性是可判定的。