SIAM Review, Volume 63, Issue 3, Page 559-582, January 2021.
We present a randomized method for computing the min-plus product (a.k.a. tropical product) of two $n \times n$ matrices, yielding a faster algorithm for solving the all-pairs shortest path problem (APSP) in dense $n$-node directed graphs with arbitrary edge weights. In the real random-access machine model, where additions and comparisons of reals are unit cost (but all other operations have logarithmic cost), the algorithm runs in time $\frac{n^3}{2^{\Omega(\log n)^{1/2}}}$ and is correct with high probability. On the word random-access machine which permits constant-time operations on $\log(n)$-bit words, the algorithm runs in $n^3/2^{\Omega(\log n)^{1/2}} + n^{2+o(1)}\log(nM)$ time on graphs with edge weights in $([0,M] \cap \mathbb{Z})\cup\{\infty\}$. Prior algorithms needed either $\Theta(n^3/\log^c n)$ time for various $c \leq 2$, or $\Theta(M^{\alpha}n^{\beta})$ time for various $\alpha > 0$ and $\beta > 2$. Our algorithm applies a tool from circuit complexity, namely, the Razborov--Smolensky polynomials for approximately representing ${AC}^0[p]$ circuits, to efficiently reduce a matrix product over the min-plus algebra to a relatively small number of rectangular matrix products over $\mathbb{F}_2$. Each rectangular matrix product can be computed using a particularly efficient method due to Coppersmith. We also give a deterministic version of the algorithm running in $n^3/2^{\log^{\delta} n}$ time for some $\delta > 0$, which utilizes the Yao--Beigel--Tarui translation of ${AC}^0[m]$ circuits into “nice” depth-two circuits.

中文翻译：

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从电路复杂性到更快的所有对最短路径

SIAM 评论，第 63 卷，第 3 期，第 559-582 页，2021 年 1 月。
我们提出了一种计算两个 $n\times n$ 矩阵的最小加乘积（又名热带乘积）的随机方法，产生了一种更快的算法来解决密集 $n$ 节点中的所有对最短路径问题（APSP）具有任意边权重的有向图。在真正的随机访问机器模型中，实数的加法和比较是单位成本（但所有其他操作都有对数成本），算法及时运行 $\frac{n^3}{2^{\Omega(\log n)^{1/2}}}$ 并且很有可能是正确的。在允许对 $\log(n)$ 位字进行恒定时间操作的字随机存取机上，该算法在 $n^3/2^{\Omega(\log n)^{1/2} } + n^{2+o(1)}\log(nM)$ 边权重为 $([0,M] \cap \mathbb{Z})\cup\{\infty\}$ 的图上的时间。先前的算法需要 $\Theta(n^3/\log^cn)$ 时间来处理各种 $c \leq 2$，或 $\Theta(M^{\alpha}n^{\beta})$ 时间用于各种 $\alpha > 0$ 和 $\beta > 2$。我们的算法应用了电路复杂性的工具，即用于近似表示 ${AC}^0[p]$ 电路的 Razborov--Smolensky 多项式，以有效地将最小加代数上的矩阵乘积减少到相对较少的$\mathbb{F}_2$ 上的矩形矩阵乘积。由于 Coppersmith，可以使用特别有效的方法计算每个矩形矩阵乘积。我们还给出了在 $n^3/2^{\log^{\delta} n}$ 时间内运行某些 $\delta > 0$ 的算法的确定性版本，它利用了 Yao--Beigel--Tarui 翻译${AC}^0[m]$ 电路变成“漂亮”的深度二电路。用于近似表示 ${AC}^0[p]$ 电路的 Razborov--Smolensky 多项式，以有效地将最小加代数上的矩阵乘积减少到 $\mathbb{F}_2 上相对少量的矩形矩阵乘积$. 由于 Coppersmith，可以使用特别有效的方法计算每个矩形矩阵乘积。我们还给出了在 $n^3/2^{\log^{\delta} n}$ 时间内运行某些 $\delta > 0$ 的算法的确定性版本，它利用了 Yao--Beigel--Tarui 翻译${AC}^0[m]$ 电路变成“漂亮”的深度二电路。用于近似表示 ${AC}^0[p]$ 电路的 Razborov--Smolensky 多项式，以有效地将最小加代数上的矩阵乘积减少到 $\mathbb{F}_2 上相对少量的矩形矩阵乘积$. 由于 Coppersmith，可以使用特别有效的方法计算每个矩形矩阵乘积。我们还给出了在 $n^3/2^{\log^{\delta} n}$ 时间内运行某些 $\delta > 0$ 的算法的确定性版本，它利用了 Yao--Beigel--Tarui 翻译${AC}^0[m]$ 电路变成“漂亮”的深度二电路。由于 Coppersmith，可以使用特别有效的方法计算每个矩形矩阵乘积。我们还给出了在 $n^3/2^{\log^{\delta} n}$ 时间内运行某些 $\delta > 0$ 的算法的确定性版本，它利用了 Yao--Beigel--Tarui 翻译${AC}^0[m]$ 电路变成“漂亮”的深度二电路。由于 Coppersmith，可以使用特别有效的方法计算每个矩形矩阵乘积。我们还给出了在 $n^3/2^{\log^{\delta} n}$ 时间内运行某些 $\delta > 0$ 的算法的确定性版本，它利用了 Yao--Beigel--Tarui 翻译将 ${AC}^0[m]$ 电路转换为“不错的”深度二电路。