SIAM Review, Volume 63, Issue 3, Page 557-557, January 2021.
The SIGEST article in this issue is “From Circuit Complexity to Faster All-Pairs Shortest Paths,” by R. Ryan Williams. The original paper appeared in SIAM Journal on Computing (SICOMP) in 2018 and, as indicated by the high citation count, ideas from this work have inspired a broad range of future activity. For a given $n$-node graph, the problem tackled here is to compute all shortest paths between any pair of nodes, the so-called all-pairs shortest path (APSP) problem. As explained by the author (see Corollary 1.2) a solution to the APSP problem leads to solutions for many other problems in discrete mathematics. The key result in this work is a new algorithm that improves on the classical $O(n^3)$ complexity for the first time by a factor that is superpolylogarithmic. This is done by introducing a new technique, called the polynomial method. Key ingredients of the work are the use of tropical, or max-plus, algebra, where $\min$ plays the role of addition and $+$ is promoted to multiplication, and a new reduction to rectangular matrix multiplication over the field of two elements. In addition to creating an algorithm that runs faster than $n^3/\log^k n$ for every constant $k$, the author discusses the potential for achieving a truly subcubic speed of $n^{3-\epsilon}$ for some $\epsilon >0$. The original (SICOMP) article has been given an extended introduction to increase accessibility to the SIAM readership. Thanks to the wide applicability of the APSP problem, and the potential for further developments in the field, this paper should be of interest both to researchers working on algorithms and to those working on complexity.

中文翻译：

---

SIGEST

SIAM 评论，第 63 卷，第 3 期，第 557-557 页，2021 年 1 月。
本期 SIGEST 文章是 R. Ryan Williams 的“从电路复杂性到更快的所有对最短路径”。原始论文于 2018 年发表在 SIAM Journal on Computing (SICOMP) 上，正如高引用率所表明的那样，这项工作的想法激发了广泛的未来活动。对于给定的 $n$-node 图，这里解决的问题是计算任何一对节点之间的所有最短路径，即所谓的 all-pairs shortest path (APSP) 问题。正如作者所解释的（见推论 1.2），APSP 问题的解决方案会导致离散数学中许多其他问题的解决方案。这项工作的关键结果是一种新算法，该算法首次通过超多对数因子改进了经典的 $O(n^3)$ 复杂度。这是通过引入一种称为多项式方法的新技术来实现的。这项工作的关键要素是使用热带代数或 max-plus 代数，其中 $\min$ 扮演加法的角色，而 $+$ 被提升为乘法，以及在两个域上新的矩形矩阵乘法简化元素。除了为每个常数 $k$ 创建一个比 $n^3/\log^kn$ 运行得更快的算法之外，作者还讨论了实现 $n^{3-\epsilon}$ 的真正亚立方速度的潜力一些 $\epsilon >0$。对原始 (SICOMP) 文章进行了扩展介绍，以增加 SIAM 读者的可访问性。由于 APSP 问题的广泛适用性以及该领域进一步发展的潜力，本文对研究算法的研究人员和研究复杂性的研究人员都应该感兴趣。或 max-plus，代数，其中 $\min$ 起到加法的作用，$+$ 被提升为乘法，以及在两个元素的域上新的矩形矩阵乘法。除了为每个常数 $k$ 创建一个比 $n^3/\log^kn$ 运行得更快的算法之外，作者还讨论了实现 $n^{3-\epsilon}$ 的真正亚立方速度的潜力一些 $\epsilon >0$。对原始 (SICOMP) 文章进行了扩展介绍，以增加 SIAM 读者的可访问性。由于 APSP 问题的广泛适用性以及该领域进一步发展的潜力，本文对研究算法的研究人员和研究复杂性的研究人员都应该感兴趣。或 max-plus，代数，其中 $\min$ 起到加法的作用，$+$ 被提升为乘法，以及在两个元素的域上新的矩形矩阵乘法。除了为每个常数 $k$ 创建一个比 $n^3/\log^kn$ 运行得更快的算法之外，作者还讨论了实现 $n^{3-\epsilon}$ 的真正亚立方速度的潜力一些 $\epsilon >0$。对原始 (SICOMP) 文章进行了扩展介绍，以增加 SIAM 读者的可访问性。由于 APSP 问题的广泛适用性以及该领域进一步发展的潜力，本文对研究算法的研究人员和研究复杂性的研究人员都应该感兴趣。以及在两个元素的域上对矩形矩阵乘法的新简化。除了为每个常数 $k$ 创建一个比 $n^3/\log^kn$ 运行得更快的算法之外，作者还讨论了实现 $n^{3-\epsilon}$ 的真正亚立方速度的潜力一些 $\epsilon >0$。对原始 (SICOMP) 文章进行了扩展介绍，以增加 SIAM 读者的可访问性。由于 APSP 问题的广泛适用性以及该领域进一步发展的潜力，本文对研究算法的研究人员和研究复杂性的研究人员都应该感兴趣。以及在两个元素的域上对矩形矩阵乘法的新简化。除了为每个常数 $k$ 创建一个比 $n^3/\log^kn$ 运行得更快的算法之外，作者还讨论了实现 $n^{3-\epsilon}$ 的真正亚立方速度的潜力一些 $\epsilon >0$。对原始 (SICOMP) 文章进行了扩展介绍，以增加 SIAM 读者的可访问性。由于 APSP 问题的广泛适用性以及该领域进一步发展的潜力，本文对研究算法的研究人员和研究复杂性的研究人员都应该感兴趣。作者讨论了对于某些 $\epsilon >0$ 实现真正的亚立方速度 $n^{3-\epsilon}$ 的潜力。对原始 (SICOMP) 文章进行了扩展介绍，以增加 SIAM 读者的可访问性。由于 APSP 问题的广泛适用性以及该领域进一步发展的潜力，本文对研究算法的研究人员和研究复杂性的研究人员都应该感兴趣。作者讨论了对于某些 $\epsilon >0$ 实现真正的亚立方速度 $n^{3-\epsilon}$ 的潜力。对原始 (SICOMP) 文章进行了扩展介绍，以增加 SIAM 读者的可访问性。由于 APSP 问题的广泛适用性以及该领域进一步发展的潜力，本文对研究算法的研究人员和研究复杂性的研究人员都应该感兴趣。