Abstract:We show that $\bigoplus _{n \ge 0} \mathrm {H}^t(\mathbf {GL}_{n}(\mathbf {F}_q), \mathbf {F}_{\ell })$ canonically admits the structure of a module over the $q$-divided power algebra (assuming $q$ is invertible in $\mathbf {F}_{\ell }$), and that, as such, it is free and (for $q \neq 2$) generated in degrees $\le t$. As a corollary, we show that the cohomology of a finitely generated $\mathbf {VI}$-module in non-describing characteristic is eventually periodic in $n$. We apply this to obtain a new result on the cohomology of unipotent Specht modules.

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中文翻译：

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通过𝑞-除幂的有限一般线性群的上同调中的周期性

摘要：我们证明 $\bigoplus _{n \ge 0} \mathrm {H}^t(\mathbf {GL}_{n}(\mathbf {F}_q), \mathbf {F}_{\ell })$ 规范地承认模块在 $q$-divided power 代数上的结构（假设 $q$ 在 $\mathbf {F}_{\ell }$ 中是可逆的），因此，它是免费的和（对于 $q \neq 2$）以度 $\le t$ 生成。作为推论，我们证明有限生成的 $\mathbf {VI}$-模在非描述特征中的上同调最终在 $n$ 中是周期性的。我们应用它来获得关于单能 Specht 模块上同调的新结果。

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