In this paper, we develop two finite difference weighted essentially non-oscillatory (WENO) schemes with unequal-sized sub-stencils for solving the Degasperis-Procesi (DP) and $\mu$-Degasperis-Procesi ($\mu$DP) equations, which contain nonlinear high order derivatives, and possibly peakon solutions or shock waves. By introducing auxiliary variable(s), we rewrite the DP equation as a hyperbolic-elliptic system, and the $\mu$DP equation as a first order system. Then we choose a linear finite difference scheme with suitable order of accuracy for the auxiliary variable(s), and two WENO schemes with unequal-sized sub-stencils for the primal variable. One WENO scheme uses one large stencil and several smaller stencils, and the other WENO scheme is based on the multi-resolution idea which uses a series of unequal-sized hierarchical central stencils. Comparing with the classical WENO schemes which uses several small stencils of the same size to make up a big stencil, both WENO schemes with unequal-sized sub-stencils are simple in the the choice of the stencil and enjoy the freedom of arbitrary positive linear weights. Another advantage is that the final reconstructed polynomial on the target cell is a polynomial of the same degree as the polynomial over the big stencil, while the classical finite difference WENO reconstruction can only be obtained for specific points inside the target interval. Numerical tests are provided to demonstrate the high order accuracy and non-oscillatory properties of the proposed schemes.

中文翻译：

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用于 Degasperis-Procesi 类型方程的具有不等大小子模板的高阶有限差分 WENO 方法

在本文中，我们开发了两个有限差分加权基本非振荡 (WENO) 方案，具有不等大小的子模板，用于求解 Degasperis-Procesi (DP) 和 $\mu$-Degasperis-Procesi ($\mu$DP)方程，其中包含非线性高阶导数，可能还有峰值解或冲击波。通过引入辅助变量，我们将 DP 方程改写为双曲椭圆系统，将 $\mu$DP 方程改写为一阶系统。然后，我们为辅助变量选择了一个具有合适精度顺序的线性有限差分方案，并为原始变量选择了两个具有不等大小子模板的 WENO 方案。一种 WENO 方案使用一个大模板和几个较小的模板，另一种 WENO 方案基于多分辨率思想，使用一系列大小不等的分层中央模板。与使用几个相同尺寸的小模板组成一个大模板的经典 WENO 方案相比，两种不等大小子模板的 WENO 方案在模板的选择上都很简单，并享有任意正线性权重的自由. 另一个优点是目标单元上的最终重构多项式是与大模板上的多项式同次的多项式，而经典的有限差分 WENO 重构只能针对目标区间内的特定点获得。提供了数值测试来证明所提出方案的高阶精度和非振荡特性。两种具有不等大小子模板的 WENO 方案在模板的选择上都很简单，并且享有任意正线性权重的自由。另一个优点是目标单元上的最终重构多项式是与大模板上的多项式同次的多项式，而经典的有限差分 WENO 重构只能针对目标区间内的特定点获得。提供了数值测试来证明所提出方案的高阶精度和非振荡特性。两种具有不等大小子模板的 WENO 方案在模板的选择上都很简单，并且享有任意正线性权重的自由。另一个优点是目标单元上的最终重构多项式是与大模板上的多项式同次的多项式，而经典的有限差分 WENO 重构只能针对目标区间内的特定点获得。提供了数值测试来证明所提出方案的高阶精度和非振荡特性。而经典的有限差分 WENO 重建只能针对目标区间内的特定点获得。提供了数值测试来证明所提出方案的高阶精度和非振荡特性。而经典的有限差分 WENO 重建只能针对目标区间内的特定点获得。提供了数值测试来证明所提出方案的高阶精度和非振荡特性。