The busy beaver value BB($n$) is the maximum number of steps made by any $n$-state, 2-symbol deterministic halting Turing machine starting on blank tape, and BB($n,k$) denotes its $k$-symbol generalisation to $k\geq 2$. The busy beaver function $n \mapsto \text{BB}(n)$ is uncomputable and its values have been linked to hard open problems in mathematics and notions of unprovability. In this paper, we show that there are two explicit Turing machines, one with 15 states and 2 symbols, the other with 5 states and 4 symbols, that halt if and only if the following Collatz-related conjecture by Erd\H{o}s [1979] does not hold does not hold: for all $n>8$ there is at least one digit 2 in the base 3 representation of $2^n$. This result implies that knowing the values of BB(15) or BB(5,4) is at least as hard as solving Erd\H{o}s' conjecture and makes, to date, BB(15) the smallest busy beaver value that is related to a natural open problem in mathematics. For comparison, Yedidia and Aaronson [2016] show that knowing BB(4,888) and BB(5,372) are as hard as solving Goldbach's conjecture and the Riemann hypothesis, respectively (later informally improved to BB(27) and BB(744)). Finally, our result puts a finite, albeit large, bound on Erd\H{o}s' conjecture, by making it equivalent to the following finite statement: for all $8 < n \leq \min(\text{BB}(15), \text{BB}(5,4))$ there is at least one digit 2 in the base 3 representation of $2^n$.

中文翻译：

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关于知道忙海狸值 BB(15) 和 BB(5,4) 的硬度

繁忙的海狸值 BB($n$) 是任何 $n$-state、2-symbol 确定性停机图灵机在空白磁带上启动的最大步数，BB($n,k$) 表示它的 $k $-symbol 泛化到 $k\geq 2$。繁忙的海狸函数 $n \mapsto \text{BB}(n)$ 是不可计算的，它的值与数学中的难题和不可证明性概念有关。在本文中，我们展示了两个显式图灵机，一个有 15 个状态和 2 个符号，另一个有 5 个状态和 4 个符号，当且仅当以下由 Erd\H{o} 提出的 Collat​​z 相关猜想停止s [1979] 不成立 不成立：对于所有 $n>8$，$2^n$ 的基数 3 表示中至少有一位数字 2。这个结果意味着知道 BB(15) 或 BB(5,4) 的值至少和解决 Erd\H{o}s 的猜想一样困难，并且，迄今为止，BB(15) 是与数学中自然开放问题相关的最小繁忙海狸值。为了进行比较，Yedidia 和 Aaronson [2016] 表明，知道 BB(4,888) 和 BB(5,372) 分别与解决哥德巴赫猜想和黎曼假设一样难（后来非正式地改进为 BB(27) 和 BB(744)）。最后，我们的结果在 Erd\H{o}s' 猜想上放置了一个有限的、尽管很大的边界，通过使其等效于以下有限语句：对于所有 $8 < n \leq \min(\text{BB}(15 ), \text{BB}(5,4))$ 在 $2^n$ 的基数 3 表示中至少有一位数字 2。s 猜想和黎曼假设，分别（后来非正式地改进为 BB(27) 和 BB(744)）。最后，我们的结果在 Erd\H{o}s' 猜想上放置了一个有限的、尽管很大的边界，通过使其等效于以下有限语句：对于所有 $8 < n \leq \min(\text{BB}(15 ), \text{BB}(5,4))$ 在 $2^n$ 的基数 3 表示中至少有一位数字 2。s 猜想和黎曼假设，分别（后来非正式地改进为 BB(27) 和 BB(744)）。最后，我们的结果在 Erd\H{o}s' 猜想上放置了一个有限的、尽管很大的边界，通过使其等效于以下有限语句：对于所有 $8 < n \leq \min(\text{BB}(15 ), \text{BB}(5,4))$ 在 $2^n$ 的基数 3 表示中至少有一位数字 2。