In the standard trace reconstruction problem, the goal is to \emph{exactly} reconstruct an unknown source string $\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$ from independent "traces", which are copies of $\mathsf{x}$ that have been corrupted by a $\delta$-deletion channel which independently deletes each bit of $\mathsf{x}$ with probability $\delta$ and concatenates the surviving bits. We study the \emph{approximate} trace reconstruction problem, in which the goal is only to obtain a high-accuracy approximation of $\mathsf{x}$ rather than an exact reconstruction. We give an efficient algorithm, and a near-matching lower bound, for approximate reconstruction of a random source string $\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$ from few traces. Our main algorithmic result is a polynomial-time algorithm with the following property: for any deletion rate $0 < \delta < 1$ (which may depend on $n$), for almost every source string $\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$, given any number $M \leq \Theta(1/\delta)$ of traces from $\mathrm{Del}_\delta(\mathsf{x})$, the algorithm constructs a hypothesis string $\widehat{\mathsf{x}}$ that has edit distance at most $n \cdot (\delta M)^{\Omega(M)}$ from $\mathsf{x}$. We also prove a near-matching information-theoretic lower bound showing that given $M \leq \Theta(1/\delta)$ traces from $\mathrm{Del}_\delta(\mathsf{x})$ for a random $n$-bit string $\mathsf{x}$, the smallest possible expected edit distance that any algorithm can achieve, regardless of its running time, is $n \cdot (\delta M)^{O(M)}$.

中文翻译：

---

从少量迹线重建接近最优的平均情况近似迹线

在标准的轨迹重建问题中，目标是从独立的“轨迹”中 \emph{exactly} 重建一个未知的源字符串 $\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$，它们是 $ \mathsf{x}$ 已被 $\delta$-deletion 通道破坏，该通道以 $\delta$ 的概率独立删除 $\mathsf{x}$ 的每一位并连接幸存的位。我们研究了 \emph{approximate} 迹重建问题，其中目标只是获得 $\mathsf{x}$ 的高精度近似值，而不是精确的重建。我们给出了一个有效的算法和一个近似匹配的下界，用于从少数轨迹近似重建随机源字符串 $\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$。我们的主要算法结果是具有以下性质的多项式时间算法：对于任何删除率 $0 < \delta < 1$（可能取决于 $n$），对于几乎每个源字符串 $\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$，给定任何数字 $M \leq \Theta(1/\delta )$ 来自 $\mathrm{Del}_\delta(\mathsf{x})$ 的轨迹，该算法构造一个假设字符串 $\widehat{\mathsf{x}}$，其编辑距离至多为 $n \cdot (\delta M)^{\Omega(M)}$ 来自 $\mathsf{x}$。我们还证明了一个接近匹配的信息理论下界，表明给定的 $M \leq \Theta(1/\delta)$ 跟踪 $\mathrm{Del}_\delta(\mathsf{x})$ $n$-bit 字符串 $\mathsf{x}$，任何算法可以达到的最小可能预期编辑距离，无论其运行时间如何，都是 $n \cdot (\delta M)^{O(M)}$ . 该算法构造了一个假设字符串 $\widehat{\mathsf{x}}$，它与 $\mathsf{x}$ 的编辑距离至多为 $n \cdot (\delta M)^{\Omega(M)}$。我们还证明了一个接近匹配的信息理论下界，表明给定的 $M \leq \Theta(1/\delta)$ 跟踪 $\mathrm{Del}_\delta(\mathsf{x})$ $n$-bit 字符串 $\mathsf{x}$，任何算法可以达到的最小可能预期编辑距离，无论其运行时间如何，都是 $n \cdot (\delta M)^{O(M)}$ . 该算法构造了一个假设字符串 $\widehat{\mathsf{x}}$，它与 $\mathsf{x}$ 的编辑距离至多为 $n \cdot (\delta M)^{\Omega(M)}$。我们还证明了一个接近匹配的信息理论下界，表明给定的 $M \leq \Theta(1/\delta)$ 跟踪 $\mathrm{Del}_\delta(\mathsf{x})$ $n$-bit 字符串 $\mathsf{x}$，任何算法可以达到的最小可能预期编辑距离，无论其运行时间如何，都是 $n \cdot (\delta M)^{O(M)}$ .