Abstract:For any prime number $p$, and integer $k\geqslant 1$, let $\mathbb {F}_{p^k}$ be the finite field of $p^k$ elements. A famous problem in the theory of polynomials over finite fields is the characterization of all nonconstant polynomials $F\in \mathbb {F}_{p^k}[x]$ for which the value set $\{F(\alpha ): \alpha \in \mathbb {F}_{p^k}\}$ has the minimum possible size $\left \lfloor (p^k-1)/\deg F \right \rfloor +1$. For $k\leqslant 2$, the problem was solved in the early 1960s by Carlitz, Lewis, Mills, and Straus. This paper solves the problem for $k=3$.

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中文翻译：

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在大小为 𝑝³ 的域上设置最小值的多项式

摘要：对于任意素数$p$和整数$k\geqslant 1$，令$\mathbb {F}_{p^k}$为$p^k$元素的有限域。有限域上多项式理论中的一个著名问题是所有非常数多项式 $F\in \mathbb {F}_{p^k}[x]$ 的表征，其值集 $\{F(\alpha ) : \alpha \in \mathbb {F}_{p^k}\}$ 具有最小可能尺寸 $\left \lfloor (p^k-1)/\deg F \right \rfloor +1$。对于 $k\leqslant 2$，这个问题在 1960 年代初期由 Carlitz、Lewis、Mills 和 Straus 解决。本文解决了$k=3$的问题。

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