Beam theories such as the Timoshenko beam theory are in agreement with the elasticity theory. However, due to the different nonlocal averaging processes, they are expected to yield different results in their nonlocal forms. In the present work, the free vibration behavior of nonlocal nanobeams is studied using the nonlocal integral Timoshenko beam theory (NITBT) and two-dimensional nonlocal integral elasticity theory (2D-NIET) with different kernels and their results are compared. A new kernel, termed the compensated two-phase (CTP) kernel, is introduced, which entirely compensates for the boundary effects and does not suffer from the ill-posedness of previous kernels. Using the finite element method, the free vibration analysis is performed for different boundary conditions based on the first three natural frequencies. For both the NITBT and 2D-NIET with both the two-phase (TP) and CTP kernels, the nonlocal parameter has a softening effect on the natural frequencies for all the boundary conditions, without observing the paradoxical behaviors of the nonlocal differential theory. For both theories, the softening effect of the nonlocal parameter is more pronounced for the TP kernel compared to the CTP kernel. The sensitivity of the 2D-NIET to the nonlocal parameter is found to be higher than that of the NITBT. Also, the softening effects for different vibration modes are compared to each other for both theories and both kernels. The obtained results can be extended for various important beam problems with nonlocal effects and help obtain a better understanding of applicable nonlocal theories.

Timoshenko 梁理论等梁理论与弹性理论是一致的。然而，由于不同的非局部平均过程，它们预计会产生不同的非局部形式的结果。在目前的工作中，使用具有不同内核的非局部积分 Timoshenko 梁理论 (NITBT) 和二维非局部积分弹性理论 (2D-NIET) 研究了非局部纳米梁的自由振动行为，并比较了它们的结果。引入了一种称为补偿两相 (CTP) 内核的新内核，它完全补偿了边界效应，并且不会受到先前内核不适定性的影响。使用有限元方法，基于前三个固有频率对不同边界条件进行自由振动分析。对于同时具有两相 (TP) 和 CTP 内核的 NITBT 和 2D-​​NIET，非局部参数对所有边界条件的固有频率都有软化作用，而没有观察到非局部微分理论的悖论行为。对于这两种理论，与 CTP 核相比，TP 核的非局部参数的软化效应更为明显。发现 2D-NIET 对非局部参数的敏感性高于 NITBT。此外，对于两种理论和两种内核，对不同振动模式的软化效果进行了相互比较。获得的结果可以扩展到具有非局部效应的各种重要梁问题，并有助于更好地理解适用的非局部理论。非局部参数对所有边界条件的固有频率都有软化作用，而没有观察到非局部微分理论的矛盾行为。对于这两种理论，与 CTP 核相比，TP 核的非局部参数的软化效应更为明显。发现 2D-NIET 对非局部参数的敏感性高于 NITBT。此外，对于两种理论和两种内核，对不同振动模式的软化效果进行了相互比较。获得的结果可以扩展到具有非局部效应的各种重要梁问题，并有助于更好地理解适用的非局部理论。非局部参数对所有边界条件的固有频率都有软化作用，而没有观察到非局部微分理论的矛盾行为。对于这两种理论，与 CTP 核相比，TP 核的非局部参数的软化效应更为明显。发现 2D-NIET 对非局部参数的敏感性高于 NITBT。此外，对于两种理论和两种内核，对不同振动模式的软化效果进行了相互比较。获得的结果可以扩展到具有非局部效应的各种重要梁问题，并有助于更好地理解适用的非局部理论。没有观察非局部微分理论的悖论行为。对于这两种理论，与 CTP 核相比，TP 核的非局部参数的软化效应更为明显。发现 2D-NIET 对非局部参数的敏感性高于 NITBT。此外，对于两种理论和两种内核，对不同振动模式的软化效果进行了相互比较。获得的结果可以扩展到具有非局部效应的各种重要梁问题，并有助于更好地理解适用的非局部理论。没有观察非局部微分理论的悖论行为。对于这两种理论，与 CTP 核相比，TP 核的非局部参数的软化效应更为明显。发现 2D-NIET 对非局部参数的敏感性高于 NITBT。此外，对于两种理论和两种内核，对不同振动模式的软化效果进行了相互比较。获得的结果可以扩展到具有非局部效应的各种重要梁问题，并有助于更好地理解适用的非局部理论。对于两种理论和两种内核，对不同振动模式的软化效果进行了相互比较。获得的结果可以扩展到具有非局部效应的各种重要梁问题，并有助于更好地理解适用的非局部理论。对于两种理论和两种内核，对不同振动模式的软化效果进行了相互比较。获得的结果可以扩展到具有非局部效应的各种重要梁问题，并有助于更好地理解适用的非局部理论。