Let $\mathrm{\Gamma }=(V,E)$ be a graph of order n. A distance magic labeling of Γ is a bijection $\ell :V\to \{1,2,\dots ,n\}$ for which there exists a positive integer k such that ${\sum }_{x\in N(u)}\ell (x)=k$ for all vertices $u\in V$, where $N(u)$ is the neighborhood of u. A graph is said to be distance magic if it admits a distance magic labeling.

In this paper we classify all connected tetravalent distance magic circulants, that is Cayley graphs $\mathrm{Cay}({\mathbb{Z}}_n;S)$ where $S=\{\pm a,\pm b\}$ for some $1\le a<b<n/2$ with $\gcd (n,a,b)=1$. As a consequence we solve an open problem posed by Cichacz and Froncek.

中文翻译：

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四价距离幻循环图的分类

让 $\mathrm{\Gamma }=(伏,乙)$是n阶图。甲距离魔标记Γ的是一个双射$\ell ：伏\to \{1,2,\dots ,n\}$存在一个正整数k使得${\sum }_{X\in N(你)}\ell (X)=克$ 对于所有顶点 $你\in 伏$， 在哪里 $N(你)$是u的邻域。如果一个图允许距离魔法标记，则称其为距离魔法。

在本文中，我们对所有连通的四价距离魔术循环进行分类，即凯莱图 $\mathrm{凯}({\mathbb{Z}}_n;秒)$ 在哪里 $秒=\{\pm \mathrm{一种},\pm 乙\}$ 对于一些 $1\le \mathrm{一种}<乙<n/2$ 和 $\mathrm{GCD}(n,\mathrm{一种},乙)=1$. 因此，我们解决了 Cichacz 和 Froncek 提出的一个开放问题。