Let $S$ be a compact oriented finite dimensional manifold and $M$ a finite dimensional Riemannian manifold, let $\operatorname{Imm}_f (S,M)$ the space of all free immersions $\varphi : S \to M$ and let $B^{+}_{i,f} (S,M)$ the quotient space $\operatorname{Imm}_f (S,M) / \operatorname{Diff}^{+} (S)$, where $\operatorname{Diff}^{+} (S)$ denotes the group of orientation preserving diffeomorphisms of $S$. In this paper we prove that if M admits a parallel $r$-fold vector cross product $\chi \in \Omega^r (M,T M)$ and $\operatorname{dim}S=r -1$ then $B^{+}_{i,f} (S,M)$ is a formally Kähler manifold. This generalizes Brylinski’s, LeBrun’s and Verbitsky’s results for the case that $S$ is a codimension $2$ submanifold in $M$, and $S = S^1$ or $M$ is a torsion-free $G_2$-manifold respectively.

中文翻译：

---

高维结空间上形式上可积的复杂结构

令 $S$ 为紧致有限维流形，$M$ 为有限维黎曼流形，令 $\operatorname{Imm}_f (S,M)$ 为所有自由浸入的空间 $\varphi : S \to M$并让 $B^{+}_{i,f} (S,M)$ 商空间 $\operatorname{Imm}_f (S,M) / \operatorname{Diff}^{+} (S)$，其中 $\operatorname{Diff}^{+} (S)$ 表示 $S$ 的一组方向保持微分同胚。在本文中，我们证明如果 M 承认一个平行的 $r$-fold 向量叉积 $\chi \in \Omega^r (M,TM)$ 和 $\operatorname{dim}S=r -1$ 那么 $B ^{+}_{i,f} (S,M)$ 是形式上的 Kähler 流形。这概括了 Brylinski、LeBrun 和 Verbitsky 在 $S$ 是 $M$ 中的 $2$ 子流形，并且 $S = S^1$ 或 $M$ 分别是无扭转 $G_2$-流形的情况下的结果。