The class of $k$-star caterpillar convex bipartite graphs generalizes the class of convex bipartite graphs. For a bipartite graph with partitions $X$ and $Y$, we associate a $k$-star caterpillar on $X$ such that for each vertex in $Y$, its neighborhood induces a tree. The $k$-star caterpillar on $X$ is imaginary and if the imaginary structure is a path ($0$-star caterpillar), then it is the class of convex bipartite graphs. The minimum Steiner tree problem (STREE) is defined as follows: given a connected graph $G=(V,E)$ and a subset of vertices $R \subseteq V(G)$, the objective is to find a minimum cardinality set $S \subseteq V(G)$ such that the set $R \cup S$ induces a connected subgraph. STREE is known to be NP-complete on general graphs as well as for special graph classes such as chordal graphs, bipartite graphs, and chordal bipartite graphs. The complexity of STREE in convex bipartite graphs, which is a popular subclass of chordal bipartite graphs, is open. In this paper, we introduce $k$-star caterpillar convex bipartite graphs, and show that STREE is NP-complete for $1$-star caterpillar convex bipartite graphs and polynomial-time solvable for $0$-star caterpillar convex bipartite graphs (also known as convex bipartite graphs). In \cite{muller1987np}, it is shown that STREE in chordal bipartite graphs is NP-complete. A close look at the reduction instances reveal that the instances are $3$-star caterpillar convex bipartite graphs, and in this paper, we strengthen the result of \cite{muller1987np}.

中文翻译：

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$k$-star Caterpillar Convex 二部图中的 Steiner 树——二分法

$k$-star 毛毛虫凸二部图类概括了凸二部图类。对于具有分区 $X$ 和 $Y$ 的二部图，我们将 $k$-star 毛毛虫关联到 $X$ 上，使得对于 $Y$ 中的每个顶点，其邻域都会产生一棵树。$X$ 上的 $k$-star 毛虫是虚的，如果虚结构是一条路径（$0$-star 毛虫），那么它就是凸二部图的类。最小Steiner树问题（STREE）定义如下：给定连通图$G=(V,E)$和顶点子集$R \subseteq V(G)$，目标是找到一个最小基数集$S \subseteq V(G)$ 使得集合$R \cup S$ 归纳出一个连通子图。已知 STREE 在一般图以及特殊图类（例如弦图、二部图和弦二部图）上是 NP 完全的。STREE 在凸二部图中的复杂性是开放的，它是和弦二部图的一个流行子类。在本文中，我们介绍了 $k$-star 毛虫凸二部图，并证明 STREE 对于 $1$-star 毛虫凸二部图是 NP 完全的，并且对于 $0$-star 毛虫凸二部图（也称为作为凸二分图）。在 \cite{muller1987np} 中，表明和弦二部图中的 STREE 是 NP 完全的。仔细观察减少实例发现实例是 $3$-star 毛毛虫凸二部图，在本文中，我们加强了 \cite{muller1987np} 的结果。我们引入了 $k$-star 毛毛虫凸二部图，并证明 STREE 对于 $1$-star 毛虫凸二部图是 NP 完全的，并且对于 $0$-star 毛虫凸二部图（也称为凸二部图）的多项式时间可解）。在 \cite{muller1987np} 中，表明和弦二部图中的 STREE 是 NP 完全的。仔细观察减少实例发现实例是 $3$-star 毛毛虫凸二部图，在本文中，我们加强了 \cite{muller1987np} 的结果。我们引入了 $k$-star 毛毛虫凸二部图，并证明 STREE 对于 $1$-star 毛虫凸二部图是 NP 完全的，并且对于 $0$-star 毛虫凸二部图（也称为凸二部图）的多项式时间可解）。在 \cite{muller1987np} 中，表明和弦二部图中的 STREE 是 NP 完全的。仔细观察减少实例发现实例是 $3$-star 毛毛虫凸二部图，在本文中，我们加强了 \cite{muller1987np} 的结果。