An $m\times n$ row-column factorial design is an arrangement of the elements of a factorial design into a rectangular array. Such an array is used in experimental design, where the rows and columns can act as blocking factors. Formally, for any integer $q$, let $\left[q\right]=\left\{0,1,\text{…},q-1\right\}$. The $q^k$ (full) factorial design with replication $\alpha$ is the multiset consisting of $\alpha$ occurrences of each element of ${\left[q\right]}^k$; we denote this by $\alpha \times {\left[q\right]}^k$. A regular $m\times n$ row-column factorial design is an arrangement of the elements of $\alpha \times {\left[q\right]}^k$ into an $m\times n$ array (which we say is of type $I_k\left(m,n;q\right)$) such that for each row (column) and fixed vector position $i\in \left[k\right]$, each element of $\left[q\right]$ occurs $n∕q$ times (respectively, $m∕q$ times). Let $m\le n$. We show that an array of type $I_k\left(m,n;q\right)$ exists if and only if (a) $q\mid m$ and $q\mid n$; (b) $q^k\mid mn$; (c) $\left(k,q,m,n\right)\ne \left(2,6,6,6\right)$, and (d) if $\left(k,q,m\right)=\left(2,2,2\right)$ then 4 divides $n$. Godolphin showed the above is true for the case $q=2$ when $m$ and $n$ are powers of 2. In the case $k=2$, the above implies necessary and sufficient conditions for the existence of a pair of mutually orthogonal frequency rectangles (or $F$-rectangles) whenever each symbol occurs the same number of times in a given row or column.

中文翻译：

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多水平行列因子设计

一个 $米\times n$ 行列因子设计是将因子设计的元素排列成矩形阵列。这样的阵列用于实验设计，其中行和列可以充当分块因子。形式上，对于任何整数$q$， 让 $\left[q\right]=\left\{0,1,\text{…},q-1\right\}$. 这$q^{克}$ 带复制的（完全）因子设计 $\alpha$ 是由以下组成的多重集 $\alpha$ 每个元素的出现次数 ${\left[q\right]}^{克}$; 我们用$\alpha \times {\left[q\right]}^{克}$. 一个普通的 $米\times n$ 行列因子设计是元素的排列$\alpha \times {\left[q\right]}^{克}$ 成 $米\times n$数组（我们说它的类型是 ${\mathrm{一世}}_{克}\left(米,n;q\right)$) 使得对于每一行（列）和固定的向量位置 $\mathrm{一世}\in \left[克\right]$, 每个元素 $\left[q\right]$ 发生 $n∕q$ 次（分别为 $米∕q$次）。让$米\le n$. 我们证明了一个类型的数组${\mathrm{一世}}_{克}\left(米,n;q\right)$ 存在当且仅当 (a) $q\mid 米$ 和 $q\mid n$; (二)$q^{克}\mid 米n$; （C）$\left(克,q,米,n\right)\ne \left(2,6,6,6\right)$, 和 (d) 如果 $\left(克,q,米\right)=\left(2,2,2\right)$ 然后4除 $n$. Godolphin 证明上述情况适用于这种情况$q=2$ 什么时候 $米$ 和 $n$ 是 2 的幂。在这种情况下 $克=2$，以上暗示了一对相互正交的频率矩形（或 $F$-rectangles) 只要每个符号在给定的行或列中出现相同的次数。