Let $f(x)\in \mathbb {Z}[x]$ be a nonconstant polynomial. Let $n\ge 1, k\ge 2$ and c be integers. An integer a is called an f-exunit in the ring $\mathbb {Z}_n$ of residue classes modulo n if $\gcd (f(a),n)=1$ . We use the principle of cross-classification to derive an explicit formula for the number ${\mathcal N}_{k,f,c}(n)$ of solutions $(x_1,\ldots ,x_k)$ of the congruence $x_1+\cdots +x_k\equiv c\pmod n$ with all $x_i$ being f-exunits in the ring $\mathbb {Z}_n$ . This extends a recent result of Anand et al. [‘On a question of f-exunits in $\mathbb {Z}/{n\mathbb {Z}}$ ’, Arch. Math. (Basel) 116 (2021), 403–409]. We derive a more explicit formula for ${\mathcal N}_{k,f,c}(n)$ when $f(x)$ is linear or quadratic.

令 $f(x)\in \mathbb {Z}[x]$ 是一个非常数多项式。令 $n\ge 1、k\ge 2$ 和c为整数。如果 $\gcd (f(a),n)=1$ ， 则整数a被称为环 $\mathbb {Z}_n$ 的残基类模n中的f -exunit 。我们使用交叉分类原理推导出同余 $的解 $(x_1,\ldots ,x_k)$ 的数量 ${\mathcal N}_{k,f,c}(n)$ 的显式公式x_1+\cdots +x_k\equiv c\pmod n$ 其中所有 $x_i$ 都是环中的f -exunits $\mathbb {Z}_n$ . 这扩展了 Anand等人最近的结果。['关于 $\mathbb {Z}/{n\mathbb {Z}}$ 中的f -exunits的问题，Arch. 数学。(巴塞尔) 116 (2021), 403–409]。当 $f(x)$ 是线性的或二次的时，我们推导出 ${\mathcal N}_{k,f,c}(n)$ 的更明确的公式。