The analysis of longitudinal, heterogeneous or unbalanced clustered data is of primary importance to a wide range of applications. The linear mixed model (LMM) is a popular and flexible extension of the linear model specifically designed for such purposes. Historically, a large proportion of material published on the LMM concerns the application of popular numerical optimization algorithms, such as Newton–Raphson, Fisher Scoring and expectation maximization to single-factor LMMs (i.e. LMMs that only contain one “factor” by which observations are grouped). However, in recent years, the focus of the LMM literature has moved towards the development of estimation and inference methods for more complex, multi-factored designs. In this paper, we present and derive new expressions for the extension of an algorithm classically used for single-factor LMM parameter estimation, Fisher Scoring, to multiple, crossed-factor designs. Through simulation and real data examples, we compare five variants of the Fisher Scoring algorithm with one another, as well as against a baseline established by the R package lme4, and find evidence of correctness and strong computational efficiency for four of the five proposed approaches. Additionally, we provide a new method for LMM Satterthwaite degrees of freedom estimation based on analytical results, which does not require iterative gradient estimation. Via simulation, we find that this approach produces estimates with both lower bias and lower variance than the existing methods.

纵向、异构或不平衡的聚类数据的分析对于广泛的应用至关重要。线性混合模型 (LMM) 是专门为此目的设计的线性模型的流行且灵活的扩展。从历史上看，LMM 上发表的大部分材料都涉及流行的数值优化算法的应用，例如 Newton-Raphson、Fisher Scoring 和期望最大化在单因素 LMM（即仅包含一个“因子”的 LMM分组）。然而，近年来，LMM 文献的重点已经转向为更复杂的多因素设计开发估计和推理方法。在本文中，我们提出并推导出新的表达式，用于将经典用于单因素 LMM 参数估计的算法（Fisher Scoring）扩展到多个交叉因素设计。通过模拟和真实数据示例，我们将 Fisher Scoring 算法的五种变体相互比较，以及与 R 包 lme4 建立的基线进行比较，并发现五种提议方法中的四种方法的正确性和强大计算效率的证据。此外，我们提供了一种基于解析结果的 LMM Satterthwaite 自由度估计新方法，该方法不需要迭代梯度估计。通过模拟，我们发现这种方法产生的估计值比现有方法具有更低的偏差和更低的方差。通过模拟和真实数据示例，我们将 Fisher Scoring 算法的五种变体相互比较，以及与 R 包 lme4 建立的基线进行比较，并发现五种提议方法中的四种方法的正确性和强大计算效率的证据。此外，我们提供了一种基于解析结果的 LMM Satterthwaite 自由度估计新方法，该方法不需要迭代梯度估计。通过模拟，我们发现这种方法产生的估计值比现有方法具有更低的偏差和更低的方差。通过模拟和真实数据示例，我们将 Fisher Scoring 算法的五种变体相互比较，以及与 R 包 lme4 建立的基线进行比较，并发现五种提议方法中的四种方法的正确性和强大计算效率的证据。此外，我们提供了一种基于解析结果的 LMM Satterthwaite 自由度估计新方法，该方法不需要迭代梯度估计。通过模拟，我们发现这种方法产生的估计值比现有方法具有更低的偏差和更低的方差。并为所提出的五种方法中的四种找到正确性和强大计算效率的证据。此外，我们提供了一种基于解析结果的 LMM Satterthwaite 自由度估计新方法，该方法不需要迭代梯度估计。通过模拟，我们发现这种方法产生的估计值比现有方法具有更低的偏差和更低的方差。并为所提出的五种方法中的四种找到正确性和强大计算效率的证据。此外，我们提供了一种基于解析结果的 LMM Satterthwaite 自由度估计新方法，该方法不需要迭代梯度估计。通过模拟，我们发现这种方法产生的估计值比现有方法具有更低的偏差和更低的方差。