For a topological space X we propose to call a subset $S\subset X$ free in X if it admits a well-ordering that turns it into a free sequence in X. The well-known cardinal function $\mathrm{F}(X)$ is then definable as $\sup \{|S|:S\text{ is free in }X\}$ and will be called the free set number of X.

We prove several new inequalities involving $\mathrm{F}(X)$ and $\mathrm{F}(X_{\delta })$, where $X_{\delta }$ is the $G_{\delta }$-modification of X:

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$\mathrm{L}(X)\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)}}$ if X is $T_2$ and $\mathrm{L}(X)\le 2^{\mathrm{F}(X)}$ if X is $T_3$;

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$|X|\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)\cdot {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{c}}(X)}}\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)\cdot \chi (X)}}$ for any $T_2$-space X;

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$\mathrm{F}(X_{\delta })\le 2^{2^{2^{\mathrm{F}(X)}}}$ if X is $T_2$ and $\mathrm{F}(X_{\delta })\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)}}$ if X is $T_3$.

中文翻译：

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在拓扑空间的自由设定数量及其摹_δ 2'-修饰

对于拓扑空间X，我们建议将其称为子集 $秒\subset X$ 释放的X，如果承认一个良序的是把它变成一个免费的序列X。众所周知的基数函数$\mathrm{F}(X)$ 然后可以定义为 $\mathrm{超}\{|秒|：秒\text{ 是免费的 }X\}$并称为X的自由集数。

我们证明了几个新的不等式，包括 $\mathrm{F}(X)$ 和 $\mathrm{F}(X_{\delta })$， 在哪里 $X_{\delta }$ 是个 $G_{\delta }$- 修改X：

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$\mathrm{升}(X)\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)}}$如果X是${吨}_2$ 和 $\mathrm{升}(X)\le 2^{\mathrm{F}(X)}$如果X是${吨}_3$;

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$|X|\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)\cdot {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{C}}(X)}}\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)\cdot \chi (X)}}$ 对于任何 ${吨}_2$-空格X ;

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$\mathrm{F}(X_{\delta })\le 2^{2^{2^{\mathrm{F}(X)}}}$如果X是${吨}_2$ 和 $\mathrm{F}(X_{\delta })\le 2^{2^{\mathrm{F}(X)}}$如果X是${吨}_3$.