Given a finite set $E$ and an operator $\sigma:2^{E}\longrightarrow2^{E}$, two sets $X,Y\subseteq E$ are \textit{cospanning} if $\sigma\left( X\right) =\sigma\left( Y\right) $. Corresponding \textit{cospanning equivalence relations} were investigated for greedoids in much detail (Korte, Lovasz, Schrader; 1991). For instance, these relations determine greedoids uniquely. In fact, the feasible sets of a greedoid are exactly the inclusion-wise minimal sets of the equivalence classes. In this research, we show that feasible sets of convex geometries are the inclusion-wise maximal sets of the equivalence classes of the corresponding closure operator. Same as greedoids, convex geometries are uniquely defined by the corresponding cospanning relations. For each closure operator $\sigma$, an element $x\in X$ is \textit{an extreme point} of $X$ if $x\notin\sigma(X-x)$. The set of extreme points of $X$ is denoted by $ex(X)$. We prove, that if $\sigma$ has the anti-exchange property, then for every set $X$ its equivalence class $[X]_{\sigma}$ is the interval $[ex(X),\sigma(X)]$. It results in the one-to-one correspondence between the cospanning partitions of an antimatroid and its complementary convex geometry. The obtained results are based on the connection between violator spaces, greedoids, and antimatroids. Cospanning characterization of these combinatorial structures allows us not only to give the new characterization of antimatroids and convex geometries but also to obtain the new properties of closure operators, extreme point operators, and their interconnections.

中文翻译：

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反拟阵和凸几何的共跨特征

给定一个有限集 $E$ 和一个运算符 $\sigma:2^{E}\longrightarrow2^{E}$，如果 $\sigma\left( X\right) =\sigma\left( Y\right) $. 相应的 \textit{cospanning 等价关系}被详细地研究了贪婪者（Korte, Lovasz, Schrader; 1991）。例如，这些关系唯一地确定了贪婪者。事实上，贪婪者的可行集正是等价类的包含最小集。在这项研究中，我们表明凸几何的可行集是相应闭包算子的等价类的包含最大集。与 greedoids 相同，凸几何由相应的共跨关系唯一定义。对于每个闭包运算符 $\sigma$，一个元素 $x\in X$ 是 $X$ 的 \textit{一个极值点}，如果 $x\notin\sigma(Xx)$。$X$的极值点集合用$ex(X)$表示。我们证明，如果 $\sigma$ 具有反交换性质，那么对于每个集合 $X$ 其等价类 $[X]_{\sigma}$ 是区间 $[ex(X),\sigma(X )]$。它导致反拟阵的共跨分区与其互补凸几何之间的一一对应关系。获得的结果基于违反者空间、贪婪者和反拟阵之间的联系。这些组合结构的共跨表征不仅使我们能够给出反拟阵和凸几何的新表征，而且还可以获得闭包算子、极值点算子及其互连的新性质。$X$的极值点集合用$ex(X)$表示。我们证明，如果 $\sigma$ 具有反交换性质，那么对于每个集合 $X$ 其等价类 $[X]_{\sigma}$ 是区间 $[ex(X),\sigma(X )]$。它导致反拟阵的共跨分区与其互补凸几何之间的一一对应关系。获得的结果基于违反者空间、贪婪者和反拟阵之间的联系。这些组合结构的共跨表征不仅使我们能够给出反拟阵和凸几何的新表征，而且还可以获得闭包算子、极值点算子及其互连的新性质。$X$的极值点集合用$ex(X)$表示。我们证明，如果 $\sigma$ 具有反交换性质，那么对于每个集合 $X$ 其等价类 $[X]_{\sigma}$ 是区间 $[ex(X),\sigma(X )]$。它导致反拟阵的共跨分区与其互补凸几何之间的一一对应关系。获得的结果基于违反者空间、贪婪者和反拟阵之间的联系。这些组合结构的共跨表征不仅使我们能够给出反拟阵和凸几何的新表征，而且还可以获得闭包算子、极值点算子及其互连的新性质。那么对于每个集合 $X$，它的等价类 $[X]_{\sigma}$ 是区间 $[ex(X),\sigma(X)]$。它导致反拟阵的共跨分区与其互补凸几何之间的一一对应关系。获得的结果基于违反者空间、贪婪者和反拟阵之间的联系。这些组合结构的共跨表征不仅使我们能够给出反拟阵和凸几何的新表征，而且还可以获得闭包算子、极值点算子及其互连的新性质。那么对于每个集合 $X$，它的等价类 $[X]_{\sigma}$ 是区间 $[ex(X),\sigma(X)]$。它导致反拟阵的共跨分区与其互补凸几何之间的一一对应关系。获得的结果基于违反者空间、贪婪者和反拟阵之间的联系。这些组合结构的共跨表征不仅使我们能够给出反拟阵和凸几何的新表征，而且还可以获得闭包算子、极值点算子及其互连的新性质。