In this paper, we give an explicit upper bound on $h(p)$, the least primitive root modulo $p^2$. Since a primitive root modulo $p$ is not primitive modulo $p^2$ if and only if it belongs to the set of integers less than $p$ which are $p$th power residues modulo $p^2$, we seek the bounds for $N_1(H)$ and $N_2(H)$ to find $H$ which satisfies $N_1(H)-N_2(H)>0$, where, $N_1(H)$ denotes the number of primitive roots modulo $p$ not exceeding $H$, and $N_2(H)$ denotes the number of $p$th powers modulo $p^2$ not exceeding $H$. The method we mainly use is to estimate the character sums contained in the expressions of the $N_1(H)$ and $N_2(H)$ above. Finally, we show that $h(p)<p^{0.74}$ for all primes $p$. This improves the recent result of Kerr et al.

在本文中，我们给出了一个明确的上限 $H(磷)$, 最小原根模 ${磷}^2$. 由于原始根模$磷$ 不是原始模 ${磷}^2$ 当且仅当它属于小于 $磷$ 哪个是 $磷$次幂余数模 ${磷}^2$，我们寻求边界 $N_1(H)$ 和 $N_2(H)$ 找到 $H$ 哪个满足 $N_1(H)-N_2(H)>0$， 在哪里， $N_1(H)$ 表示原始根模数 $磷$ 不超过 $H$， 和 $N_2(H)$ 表示数量 $磷$次幂模 ${磷}^2$ 不超过 $H$. 我们主要使用的方法是估计包含在表达式中的字符和$N_1(H)$ 和 $N_2(H)$以上。最后，我们证明$H(磷)<{磷}^{0.74}$ 对于所有素数 $磷$. 这改进了 Kerr等人最近的结果。