We consider the scalar second order ODE u + |u | $\alpha$ u + |u| $\beta$ u = 0, where $\alpha$, $\beta$ are two positive numbers and the non-linear semi-group S(t) generated on IR 2 by the system in (u, u). We prove that S(t)IR 2 is bounded for all t > 0 whenever 0 0, u (t) 2 + |u(t)| $\beta$+2 $\le$ C max{t -- 2 $\alpha$ , t -- ($\alpha$+1)($\beta$+2) $\beta$--$\alpha$ }.

中文翻译：

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一类二阶 ODE 的通用绑定性质

我们考虑标量二阶 ODE u + |u | $\alpha$ u + |u| $\beta$ u = 0，其中$\alpha$, $\beta$ 是两个正数和由(u, u) 中的系统在IR 2 上生成的非线性半群S(t)。我们证明 S(t)IR 2 对所有 t > 0 都是有界的，只要 0 0, u (t) 2 + |u(t)| $\beta$+2 $\le$ C max{t -- 2 $\alpha$ , t -- ($\alpha$+1)($\beta$+2) $\beta$--$\alpha $}。