In this note we prove a selection of commutativity theorems for various classes of semigroups. For instance, if in a separative or completely regular semigroup $S$ we have $x^p y^p = y^p x^p$ and $x^q y^q = y^q x^q$ for all $x,y\in S$ where $p$ and $q$ are relatively prime, then $S$ is commutative. In a separative or inverse semigroup $S$, if there exist three consecutive integers $i$ such that $(xy)^i = x^i y^i$ for all $x,y\in S$, then $S$ is commutative. Finally, if $S$ is a separative or inverse semigroup satisfying $(xy)^3=x^3y^3$ for all $x,y\in S$, and if the cubing map $x\mapsto x^3$ is injective, then $S$ is commutative.

中文翻译：

---

群和半群的交换定理

在本笔记中，我们证明了各种半群的交换性定理的选择。例如，如果在一个分离的或完全正则的半群 $S$ 中，我们有 $x​​^py^p = y^px^p$ 和 $x^qy^q = y^qx^q$ 对于所有 $x,y\在 $p$ 和 $q$ 互质的 S$ 中，则 $S$ 是可交换的。在分离或逆半群 $S$ 中，如果对于所有 $x,y\in S$ 存在三个连续整数 $i$，使得 $(xy)^i = x^iy^i$，则 $S$ 是可交换的。最后，如果 $S$ 是一个分离或逆半群，对于所有 $x,y\in S$ 都满足 $(xy)^3=x^3y^3$，并且如果立方映射 $x\mapsto x^3$是单射的，那么 $S$ 是可交换的。