In this work we study a class of anharmonic oscillators within the framework of the Weyl-Hörmander calculus. A prototype is an operator on ${\mathbb{R}}^n$ of the form ${(-\mathrm{\Delta })}^{\ell }+|x{|}^{2k}$ for $k,\ell$ integers ≥1. We obtain spectral properties in terms of Schatten-von Neumann classes for their negative powers and derive from them estimates on the rate of growth for the eigenvalues of the anharmonic oscillator ${(-\mathrm{\Delta })}^{\ell }+|x{|}^{2k}$. In particular we give a simple proof for the main term of the spectral asymptotics of these operators. We also study some examples of anharmonic oscillators arising from the analysis on Lie groups.

中文翻译：

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一类非谐振荡器

在这项工作中，我们研究了 Weyl-Hörmander 微积分框架内的一类非谐振荡器。原型是一个操作符${\mathbb{电阻}}^n$ 形式的 ${(-\mathrm{\Delta })}^{\ell }+|X{|}^{2克}$ 为了 $克,\ell$整数≥1。我们根据 Schatten-von Neumann 类的负功率获得频谱特性，并从中得出对非谐波振荡器特征值增长率的估计${(-\mathrm{\Delta })}^{\ell }+|X{|}^{2克}$. 特别地，我们对这些算子的谱渐近的主项给出了一个简单的证明。我们还研究了一些从李群分析中产生的非谐振荡器的例子。