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Spectral Independence in High-Dimensional Expanders and Applications to the Hardcore Model
SIAM Journal on Computing ( IF 1.2 ) Pub Date : 2021-07-12 , DOI: 10.1137/20m1367696 Nima Anari , Kuikui Liu , Shayan Oveis Gharan
SIAM Journal on Computing ( IF 1.2 ) Pub Date : 2021-07-12 , DOI: 10.1137/20m1367696 Nima Anari , Kuikui Liu , Shayan Oveis Gharan
SIAM Journal on Computing, Ahead of Print.
We say a probability distribution $\mu$ is spectrally independent if an associated pairwise influence matrix has a bounded largest eigenvalue for the distribution and all of its conditional distributions. We prove that if $\mu$ is spectrally independent, then the corresponding high-dimensional simplicial complex is a local spectral expander. Using a line of recent works on mixing time of high-dimensional walks on simplicial complexes [T. Kaufman and D. Mass, Proceedings of ITCS, 2017, pp. 4:1--4:27; I. Dinur and T. Kaufman, Proceedings of the IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 2017, pp. 974--985; T. Kaufman and I. Oppenheim, Proceedings of APPROX/RANDOM, 2018, pp. 47:1--47:17; V. L. Alev and L. C. Lau, Proceedings of the 52nd Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2020], this implies that the corresponding Glauber dynamics mixes rapidly and generates (approximate) samples from $\mu$. As an application, we show that natural Glauber dynamics mixes rapidly (in polynomial time) to generate a random independent set from the hardcore model up to the uniqueness threshold. This improves the quasi-polynomial running time of Weitz's deterministic correlation decay algorithm [D. Weitz, Proceedings of the 38th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2006, pp. 140--149] for estimating the hardcore partition function, also answering a long-standing open problem of mixing time of Glauber dynamics [M. Luby and E. Vigoda, Proceedings of the 29th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1997, pp. 682--687; M. Luby and E. Vigoda, Random Structures Algorithms, 15 (1999), pp. 229--241; M. Dyer and C. Greenhill, J. Algorithms, 35 (2000), pp. 17--49; E. Vigoda, Electron. J. Combin., 8 (2001); C. Efthymiou et al., Proceedings of FOCS, 2016, pp. 704--713].
中文翻译：
高维扩展器中的光谱独立性及其对硬核模型的应用
SIAM 计算杂志，超前印刷。
如果相关的成对影响矩阵具有分布及其所有条件分布的有界最大特征值，则我们说概率分布 $\mu$ 是谱独立的。我们证明，如果 $\mu$ 是谱独立的，那么对应的高维单纯复形就是一个局部谱扩展器。使用近期关于单纯复形上高维游走混合时间的一系列工作 [T. Kaufman 和 D. Mass，《ITCS 会议录》，2017 年，第 4:1--4:27 页；I. Dinur 和 T. Kaufman，IEEE 第 58 届计算机科学基础年会论文集，2017 年，第 974--985 页；T. Kaufman 和 I. Oppenheim，APPROX/RANDOM 会议录，2018 年，第 47:1--47:17；VL Alev 和 LC Lau，第 52 届年度 ACM 计算理论研讨会论文集，2020]，这意味着相应的 Glauber 动力学快速混合并从 $\mu$ 生成（近似）样本。作为一个应用，我们展示了自然 Glauber 动力学快速混合（在多项式时间内）以生成从核心模型到唯一性阈值的随机独立集。这改进了 Weitz 确定性相关衰减算法的准多项式运行时间 [D. Weitz, Proceedings of the 38th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2006, pp. 140--149] 用于估计硬核分配函数，也回答了一个长期存在的芒硝动力学混合时间开放问题 [M. Luby 和 E. Vigoda，第 29 届年度 ACM 计算理论研讨会论文集，1997 年，第 682--687 页；M. Luby 和 E. Vigoda，随机结构算法，15 (1999)，第 229--241 页；M. Dyer 和 C. Greenhill, J. 算法，35 (2000)，第 17--49 页；E. Vigoda，电子。J. Combin., 8 (2001); C. Efthymiou 等人，FOCS 会议录，2016 年，第 704--713 页]。
更新日期：2021-07-12
We say a probability distribution $\mu$ is spectrally independent if an associated pairwise influence matrix has a bounded largest eigenvalue for the distribution and all of its conditional distributions. We prove that if $\mu$ is spectrally independent, then the corresponding high-dimensional simplicial complex is a local spectral expander. Using a line of recent works on mixing time of high-dimensional walks on simplicial complexes [T. Kaufman and D. Mass, Proceedings of ITCS, 2017, pp. 4:1--4:27; I. Dinur and T. Kaufman, Proceedings of the IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 2017, pp. 974--985; T. Kaufman and I. Oppenheim, Proceedings of APPROX/RANDOM, 2018, pp. 47:1--47:17; V. L. Alev and L. C. Lau, Proceedings of the 52nd Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2020], this implies that the corresponding Glauber dynamics mixes rapidly and generates (approximate) samples from $\mu$. As an application, we show that natural Glauber dynamics mixes rapidly (in polynomial time) to generate a random independent set from the hardcore model up to the uniqueness threshold. This improves the quasi-polynomial running time of Weitz's deterministic correlation decay algorithm [D. Weitz, Proceedings of the 38th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2006, pp. 140--149] for estimating the hardcore partition function, also answering a long-standing open problem of mixing time of Glauber dynamics [M. Luby and E. Vigoda, Proceedings of the 29th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1997, pp. 682--687; M. Luby and E. Vigoda, Random Structures Algorithms, 15 (1999), pp. 229--241; M. Dyer and C. Greenhill, J. Algorithms, 35 (2000), pp. 17--49; E. Vigoda, Electron. J. Combin., 8 (2001); C. Efthymiou et al., Proceedings of FOCS, 2016, pp. 704--713].
中文翻译：
高维扩展器中的光谱独立性及其对硬核模型的应用
SIAM 计算杂志，超前印刷。
如果相关的成对影响矩阵具有分布及其所有条件分布的有界最大特征值，则我们说概率分布 $\mu$ 是谱独立的。我们证明，如果 $\mu$ 是谱独立的，那么对应的高维单纯复形就是一个局部谱扩展器。使用近期关于单纯复形上高维游走混合时间的一系列工作 [T. Kaufman 和 D. Mass，《ITCS 会议录》，2017 年，第 4:1--4:27 页；I. Dinur 和 T. Kaufman，IEEE 第 58 届计算机科学基础年会论文集，2017 年，第 974--985 页；T. Kaufman 和 I. Oppenheim，APPROX/RANDOM 会议录，2018 年，第 47:1--47:17；VL Alev 和 LC Lau，第 52 届年度 ACM 计算理论研讨会论文集，2020]，这意味着相应的 Glauber 动力学快速混合并从 $\mu$ 生成（近似）样本。作为一个应用，我们展示了自然 Glauber 动力学快速混合（在多项式时间内）以生成从核心模型到唯一性阈值的随机独立集。这改进了 Weitz 确定性相关衰减算法的准多项式运行时间 [D. Weitz, Proceedings of the 38th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2006, pp. 140--149] 用于估计硬核分配函数，也回答了一个长期存在的芒硝动力学混合时间开放问题 [M. Luby 和 E. Vigoda，第 29 届年度 ACM 计算理论研讨会论文集，1997 年，第 682--687 页；M. Luby 和 E. Vigoda，随机结构算法，15 (1999)，第 229--241 页；M. Dyer 和 C. Greenhill, J. 算法，35 (2000)，第 17--49 页；E. Vigoda，电子。J. Combin., 8 (2001); C. Efthymiou 等人，FOCS 会议录，2016 年，第 704--713 页]。
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