Let $F$ be a totally real field with ring of integers $O_F$, and $D$ be a totally definite quaternion algebra over $F$. A well-known formula established by Eichler and then extended by K\"orner computes the class number of any $O_F$-order in $D$. In this paper we generalize the Eichler class number formula so that it works for arbitrary $\mathbb{Z}$-orders in $D$. The motivation is to count the isomorphism classes of supersingular abelian surfaces in a simple isogeny class over a prime finite field $\mathbb{F}_p$. We give explicit formulas for the number of these isomorphism classes for all primes $p$.

中文翻译：

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超奇异阿贝尔曲面和 Eichler 的类数公式

令 $F$ 是整数环 $O_F$ 的全实域，$D$ 是 $F$ 上的全定四元数代数。由 Eichler 建立并由 K\"orner 扩展的著名公式计算 $D$ 中任何 $O_F$-order 的类数。在本文中，我们概括了 Eichler 类数公式，使其适用于任意 $\ mathbb{Z}$-orders in $D$. 动机是在素数有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的简单同构类中计算超奇异阿贝尔曲面的同构类。我们给出了数字的明确公式所有素数 $p$ 的这些同构类。