We consider the time periodic solutions to the Keller-Segel (KS) system coupled to Navier-Stokes equation in ${\mathbb{R}}^N$ $(N\ge 4)$. Based on the theory of real interpolation as Meyer and Yamazaki used, we first consider the existence of time periodic solution in $BC(\mathbb{R},L^{s,\infty }({\mathbb{R}}^N))$ when $S(n)=n^{-\frac{1}{2}}$. Next for the case $S(n)=0$, we study the mild solution and point out it can become strong solution in $BC(\mathbb{R},L^{s,\infty }({\mathbb{R}}^N))$ if the external force g satisfies a natural condition which comes from the strong solvability of the inhomogeneous Stokes equations.

中文翻译：

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与 Navier-Stokes 方程耦合的 Keller-Segel 系统的时间周期强解

我们考虑与 Navier-Stokes 方程耦合的 Keller-Segel (KS) 系统的时间周期解 ${\mathbb{电阻}}^N$ $(N\ge 4)$. 基于 Meyer 和 Yamazaki 使用的实插值理论，我们首先考虑时间周期解的存在性$乙C(\mathbb{电阻},{升}^{秒,\infty }({\mathbb{电阻}}^N))$ 什么时候 $秒(n)=n^{-\frac{1}{2}}$. 接下来为案例$秒(n)=0$，我们研究了温和的解决方案，并指出它可以成为强解决方案 $乙C(\mathbb{电阻},{升}^{秒,\infty }({\mathbb{电阻}}^N))$如果外力g满足来自非齐次斯托克斯方程的强可解性的自然条件。