We prove global-in-time Strichartz-type estimates for the Schrödinger equation on manifolds of the form ${ℝ}^n\times {\mathbb{𝕋}}^d$, where ${\mathbb{𝕋}}^d$ is a $d$-dimensional torus. Our results generalize and improve a global space-time estimate for the Schrödinger equation on $ℝ\times {\mathbb{𝕋}}^2$ due to Z. Hani and B. Pausader. As a consequence we prove global existence and scattering in $H^{1∕2}$ for small initial data for the quintic NLS on $ℝ\times \mathbb{𝕋}$ and the cubic NLS on ${ℝ}^2\times \mathbb{𝕋}$.

中文翻译：

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关于半周期薛定谔方程的全局时间 Strichartz 估计

我们证明了 Schrödinger 方程在以下形式的流形上的全局时间 Strichartz 型估计 ${ℝ}^n\times {\mathbb{𝕋}}^d$， 在哪里 ${\mathbb{𝕋}}^d$ 是一个 $d$维环面。我们的结果概括并改进了薛定谔方程的全局时空估计$ℝ\times {\mathbb{𝕋}}^2$由于 Z. Hani 和 B. Pausader。因此，我们证明了全局存在和分散在$H^{1∕2}$ 对于五次 NLS 上的小初始数据 $ℝ\times \mathbb{𝕋}$ 和三次 NLS ${ℝ}^2\times \mathbb{𝕋}$.