We introduce a notion of left homotopy for Maurer–Cartan elements in $L_\infty$‑algebras and $A_\infty$‑algebras, and show that it corresponds to gauge equivalence in the differential graded case. From this we deduce a short formula for gauge equivalence, and provide an entirely homotopical proof to Schlessinger–Stasheff’s theorem. As an application, we answer a question of T. Voronov, proving a non-abelian Poincaré lemma for differential forms taking values in an $L_\infty$‑algebra.

中文翻译：

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完全 $L_\infty$-代数的规范等价

我们在 $L_\infty$-algebras 和 $A_\infty$-algebras 中引入了 Maurer-Cartan 元素的左同伦概念，并表明它对应于微分分级情况下的规范等价。由此我们推导出规范等价的一个简短公式，并为 Schlessinger-Stasheff 定理提供一个完全同伦的证明。作为一个应用，我们回答了 T. Voronov 的一个问题，证明了在 $L_\infty$-代数中取值的微分形式的非阿贝尔庞加莱引理。