We provide examples of finite non-abelian groups acting on non-trivial Severi–Brauer surfaces. A Severi–Brauer surface over a field K is a surface that becomes isomorphic to P over the algebraic closure of K. Concerning birational automorphisms of non-trivial Severi– Brauer surfaces (i.e. those that are not isomorphic to P) the following is known. Theorem 1 ([Sh20, Theorem 1.2(ii)]). Let S be a non-trivial Severi–Brauer surface over a field K of characteristic zero. Then every finite group acting by birational automorphisms of S is either abelian, or contains a normal abelian subgroup of index 3. The purpose of this note is to prove the following. We denote by μn the cyclic group of order n. Theorem 2. Let p = 3k + 1 be a prime number. Consider the non-trivial homomorphism μ 3 → μ 3k ∼= Aut(μp), and let Gp = μp ⋊μ3 be the corresponding semi-direct product. Then there exists a number field K and a non-trivial Severi–Brauer surface S over K such that the group Aut(S) contains the group Gp. Using the notion of the Jordan constant (see [Pop14, Definition 1]), one can reformulate Theorem 1 by saying that the Jordan constant of the birational automorphism group (and thus also of the usual automorphism group) of a non-trivial Severi–Brauer surface over a field of characteristic zero is at most 3. In these terms, Theorem 2 states that for a suitable number field K and a suitable non-trivial Severi–Brauer surface S over K the Jordan constant of the automorphism group of S (and thus also of its birational automorphism group) attains this bound. Proof of Theorem 2. Let ξ denote a non-trivial root of unity of degree p, and let L = Q(ξ). Then L/Q is a Galois extension with the Galois group isomorphic to μp−1, see for instance [Cas67, Lemma III.1.1]. Let K ⊂ L be the field of invariants of the (unique) subgroup μ 3 ⊂ Gal(L/Q). Then L/K is a Galois extension with the Galois group Gal(L/K) isomorphic to μ 3 . A generator σ of Gal(L/K) sends ξ ∈ L to ξ, where d 6= 1 is an integer such that d ≡ 1 (mod p). There exists an element a ∈ K such that a is not contained in the image of the Galois norm of the field extension L/K, see [Ste89, Theorem 1(b)]. We consider the cyclic algebra A over K associated with σ and a, see [GS06, §2.5] or [GSh18, Exercise 3.1.6]. In other words, A is generated over K by L and an element α subject to relations α = a and λα = ασ(λ), λ ∈ L, so that in particular we have ξα = αξ.

中文翻译：

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作用于 Severi-Brauer 曲面的非阿贝尔群

我们提供了作用于非平凡 Severi-Brauer 表面的有限非阿贝尔群的例子。域 K 上的 Severi-Brauer 表面是在 K 的代数闭包上与 P 同构的表面。关于非平凡 Severi-Brauer 表面（即与 P 不同构的表面）的双有理自同构，以下是已知的。定理 1（[Sh20，定理 1.2(ii)]）。设 S 是特征为零的域 K 上的非平凡 Severi-Brauer 曲面。那么每个由 S 的双有理自同构作用的有限群要么是阿贝尔群，要么包含索引为 3 的正规阿贝尔子群。本笔记的目的是证明以下内容。我们用 μn 表示 n 阶循环群。定理 2. 设 p = 3k + 1 为素数。考虑非平凡同态 μ 3 → μ 3k ∼= Aut(μp)，并令 Gp = μp ⋊μ3 为对应的半直积。那么在 K 上存在一个数域 K 和一个非平凡的 Severi-Brauer 曲面 S，使得群 Aut(S) 包含群 Gp。使用 Jordan 常数的概念（参见 [Pop14, Definition 1]），我们可以通过说非平凡 Severi 的双有理自同构群（因此也是通常的自同构群）的 Jordan 常数重新表述定理 1-特征为零的域上的 Brauer 曲面至多为 3。在这些术语中，定理 2 指出，对于合适的数域 K 和合适的非平凡 Severi-Brauer 曲面 S，S 的自同构群的 Jordan 常数为 (因此它的双有理自同构群）也达到了这个界限。定理 2 的证明 令 ξ 表示 p 次单位的非平凡根，令 L = Q(ξ)。那么 L/Q 是伽罗瓦群与 μp−1 同构的伽罗瓦扩展，参见例如 [Cas67, Lemma III.1.1]。设 K ⊂ L 是（唯一的）子群 μ 3 ⊂ Gal(L/Q) 的不变量域。那么 L/K 是具有同构于 μ 3 的伽罗瓦群 Gal(L/K) 的伽罗瓦扩展。Gal(L/K) 的生成器 σ 将 ξ ∈ L 发送到 ξ，其中 d 6= 1 是一个整数，使得 d ≡ 1 (mod p)。存在一个元素 a ∈ K，使得 a 不包含在域扩展 L/K 的伽罗瓦范数的图像中，参见 [Ste89，定理 1(b)]。我们考虑与 σ 和 a 相关的 K 上的循环代数 A，参见 [GS06，§2.5] 或 [GSh18，练习 3.1.6]。换句话说，A 是由 L 和元素 α 在 K 上生成的，服从关系 α = a 和 λα = ασ(λ)，λ ∈ L，所以特别是我们有 ξα = αξ。引理 III.1.1]。设 K ⊂ L 是（唯一的）子群 μ 3 ⊂ Gal(L/Q) 的不变量域。那么 L/K 是具有同构于 μ 3 的伽罗瓦群 Gal(L/K) 的伽罗瓦扩展。Gal(L/K) 的生成器 σ 将 ξ ∈ L 发送到 ξ，其中 d 6= 1 是一个整数，使得 d ≡ 1 (mod p)。存在一个元素 a ∈ K，使得 a 不包含在域扩展 L/K 的伽罗瓦范数的图像中，参见 [Ste89，定理 1(b)]。我们考虑与 σ 和 a 相关的 K 上的循环代数 A，参见 [GS06，§2.5] 或 [GSh18，练习 3.1.6]。换句话说，A 是由 L 和元素 α 在 K 上生成的，服从关系 α = a 和 λα = ασ(λ)，λ ∈ L，所以特别是我们有 ξα = αξ。引理 III.1.1]。设 K ⊂ L 是（唯一的）子群 μ 3 ⊂ Gal(L/Q) 的不变量域。那么 L/K 是具有同构于 μ 3 的伽罗瓦群 Gal(L/K) 的伽罗瓦扩展。Gal(L/K) 的生成器 σ 将 ξ ∈ L 发送到 ξ，其中 d 6= 1 是一个整数，使得 d ≡ 1 (mod p)。存在一个元素 a ∈ K，使得 a 不包含在域扩展 L/K 的伽罗瓦范数的图像中，参见 [Ste89，定理 1(b)]。我们考虑与 σ 和 a 相关的 K 上的循环代数 A，参见 [GS06，§2.5] 或 [GSh18，练习 3.1.6]。换句话说，A 是由 L 和元素 α 在 K 上生成的，服从关系 α = a 和 λα = ασ(λ)，λ ∈ L，因此特别是我们有 ξα = αξ。Gal(L/K) 的生成器 σ 将 ξ ∈ L 发送到 ξ，其中 d 6= 1 是一个整数，使得 d ≡ 1 (mod p)。存在一个元素 a ∈ K，使得 a 不包含在域扩展 L/K 的伽罗瓦范数的图像中，参见 [Ste89，定理 1(b)]。我们考虑与 σ 和 a 相关的 K 上的循环代数 A，参见 [GS06，§2.5] 或 [GSh18，练习 3.1.6]。换句话说，A 是由 L 和元素 α 在 K 上生成的，服从关系 α = a 和 λα = ασ(λ)，λ ∈ L，所以特别是我们有 ξα = αξ。Gal(L/K) 的生成器 σ 将 ξ ∈ L 发送到 ξ，其中 d 6= 1 是一个整数，使得 d ≡ 1 (mod p)。存在一个元素 a ∈ K，使得 a 不包含在域扩展 L/K 的伽罗瓦范数的图像中，参见 [Ste89，定理 1(b)]。我们考虑与 σ 和 a 相关的 K 上的循环代数 A，参见 [GS06，§2.5] 或 [GSh18，练习 3.1.6]。换句话说，A 是由 L 和元素 α 在 K 上生成的，服从关系 α = a 和 λα = ασ(λ)，λ ∈ L，所以特别是我们有 ξα = αξ。