This is the second of a series of papers that investigate fragments of quasi-Nelson logic (QNL) from an algebraic logic standpoint. QNL, recently introduced as a common generalization of intuitionistic and Nelson’s constructive logic with strong negation, is the axiomatic extension of the substructural logic $FL_{ew}$ (full Lambek calculus with exchange and weakening) by the Nelson axiom. The algebraic counterpart of QNL (quasi-Nelson algebras) is a class of commutative integral residuated lattices (a.k.a. $FL_{ew}$-algebras) that includes both Heyting and Nelson algebras and can be characterized algebraically in several alternative ways. The present paper focuses on the algebraic counterpart (a class we dub quasi-Nelson implication algebras, QNI-algebras) of the implication–negation fragment of QNL, corresponding to the connectives that witness the algebraizability of QNL. We recall the main known results on QNI-algebras and establish a number of new ones. Among these, we show that QNI-algebras form a congruence-distributive variety (Cor. 3.15) that enjoys equationally definable principal congruences and the strong congruence extension property (Prop. 3.16); we also characterize the subdirectly irreducible QNI-algebras in terms of the underlying poset structure (Thm. 4.23). Most of these results are obtained thanks to twist representations for QNI-algebras, which generalize the known ones for Nelson and quasi-Nelson algebras; we further introduce a Hilbert-style calculus that is algebraizable and has the variety of QNI-algebras as its equivalent algebraic semantics.

中文翻译：

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Quasi-Nelson 的片段：可代数的核心

这是从代数逻辑的角度研究准纳尔逊逻辑 (QNL) 片段的系列论文中的第二篇。QNL，最近作为直觉主义和 Nelson 强否定的建设性逻辑的通用概括被引入，是 Nelson 公理对子结构逻辑 $FL_{ew}$（具有交换和弱化的完整 Lambek 演算）的公理扩展。QNL 的代数对应物（准纳尔逊代数）是一类交换积分剩余格（又名 $FL_{ew}$-代数），包括 Heyting 和 Nelson 代数，并且可以用几种替代方式进行代数表征。本论文关注 QNL 蕴涵-否定片段的代数对应物（我们称之为准纳尔逊蕴涵代数，QNI-algebras 的一类），对应于见证 QNL 代数性的连接词。我们回顾了 QNI 代数的主要已知结果并建立了一些新的结果。其中，我们展示了 QNI 代数形成了一个同余分布变量（Cor. 3.15），它具有等式可定义的主同余和强同余扩展属性（Prop. 3.16）；我们还根据潜在的偏序结构（Thm. 4.23）来表征次直接不可约 QNI 代数。这些结果中的大部分是由于 QNI 代数的扭曲表示获得的，它概括了 Nelson 和准 Nelson 代数的已知表示；我们进一步介绍了一种希尔伯特式微积分，它是可代数的，并且具有各种 QNI 代数作为其等效的代数语义。我们回顾了 QNI 代数的主要已知结果并建立了一些新的结果。其中，我们展示了 QNI 代数形成了一个同余分布变量（Cor. 3.15），它具有等式可定义的主同余和强同余扩展属性（Prop. 3.16）；我们还根据潜在的偏序结构（Thm. 4.23）来表征次直接不可约 QNI 代数。这些结果中的大部分是由于 QNI 代数的扭曲表示获得的，它概括了 Nelson 和准 Nelson 代数的已知表示；我们进一步介绍了一种希尔伯特式微积分，它是可代数的，并且具有各种 QNI 代数作为其等效的代数语义。我们回顾了 QNI 代数的主要已知结果并建立了一些新的结果。其中，我们展示了 QNI 代数形成了一个同余分布变量（Cor. 3.15），它具有等式可定义的主同余和强同余扩展属性（Prop. 3.16）；我们还根据潜在的偏序结构（Thm. 4.23）来表征次直接不可约 QNI 代数。这些结果中的大部分是由于 QNI 代数的扭曲表示获得的，它概括了 Nelson 和准 Nelson 代数的已知表示；我们进一步介绍了一种希尔伯特式微积分，它是可代数的，并且具有各种 QNI 代数作为其等效的代数语义。15）享有等式可定义的主同余和强同余扩展属性（Prop. 3.16）；我们还根据潜在的偏序结构（Thm. 4.23）来表征次直接不可约 QNI 代数。这些结果中的大部分是由于 QNI 代数的扭曲表示获得的，它概括了 Nelson 和准 Nelson 代数的已知表示；我们进一步介绍了一种希尔伯特式微积分，它是可代数的，并且具有各种 QNI 代数作为其等效的代数语义。15）享有等式可定义的主同余和强同余扩展属性（Prop. 3.16）；我们还根据潜在的偏序结构（Thm. 4.23）来表征次直接不可约 QNI 代数。这些结果中的大部分是由于 QNI 代数的扭曲表示获得的，它概括了 Nelson 和准 Nelson 代数的已知表示；我们进一步介绍了一种希尔伯特式微积分，它是可代数的，并且具有各种 QNI 代数作为其等效的代数语义。它概括了 Nelson 和 quasi-Nelson 代数的已知代数；我们进一步介绍了一种希尔伯特式微积分，它是可代数的，并且具有各种 QNI 代数作为其等效的代数语义。它概括了 Nelson 和 quasi-Nelson 代数的已知代数；我们进一步介绍了一种希尔伯特式微积分，它是可代数的，并且具有各种 QNI 代数作为其等效的代数语义。