A fundamental result of Springer says that a quadratic form over a field of characteristic $\ne 2$ is isotropic if it is so after an odd degree field extension. In this paper we generalize Springer’s theorem as follows. Let $R$ be an arbitrary semilocal ring, let $S$ be a finite $R$-algebra of constant odd degree, which is étale or generated by one element, and let $q$ be a nonsingular $R$-quadratic form whose base ring extension $q_S$ is isotropic. We show that then already $q$ is isotropic.

中文翻译：

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半局域环上二次型的斯普林格奇数扩展定理

Springer 的一个基本结果表明，特征域上的二次型 $\ne 2$是各向同性的，如果在奇数场扩展之后是这样。在本文中，我们将 Springer 定理概括如下。让$\mathrm{电阻}$ 是一个任意的半局域环，令 $秒$ 成为一个有限的 $\mathrm{电阻}$- 常数奇次的代数，它是étale 或由一个元素生成，让 $q$ 成为一个非奇异的 $\mathrm{电阻}$-二次形式，其基环延伸 $q_{秒}$是各向同性的。我们证明，那么已经$q$ 是各向同性的。