Previous authors have considered optimal stopping problems driven by the running maximum of a spectrally negative Lévy process as well as of a one-dimensional diffusion; see e.g. Kyprianou and Ott (2014); Ott (2014); Ott (2013); Alvarez and Matomäki (2014); Guo and Shepp (2001); Pedersen (2000); Gapeev (2007). Many of the aforementioned results are either implicitly or explicitly dependent on Peskir’s maximality principle, cf. (Peskir, 1998). In this article, we are interested in understanding how some of the main ideas from these previous works can be brought into the setting of problems driven by the maximum of a class of Markov additive processes (more precisely Markov modulated Lévy processes). Similarly to Ott (2013); Kyprianou and Ott (2014); Ott (2014), the optimal stopping boundary is characterised by a system of ordinary first-order differential equations, one for each state of the modulating component of the Markov additive process. Moreover, whereas scale functions played an important role in the previously mentioned work, we work instead with scale matrices for Markov additive processes here; as introduced by Kyprianou and Palmowski (2008); Ivanovs and Palmowski (2012). We exemplify our calculations in the setting of the Shepp-Shiryaev optimal stopping problem (Shepp and Shiryaev, 1993; Shepp and Shiryaev, 1995), as well as a family of capped maximum optimal stopping problems.

以前的作者已经考虑了由谱负 Lévy 过程以及一维扩散的运行最大值驱动的最优停止问题；参见例如 Kyprianou 和 Ott (2014)；奥特 (2014); 奥特 (2013); 阿尔瓦雷斯和马托马基 (2014)；郭和谢普（2001）；佩德森 (2000); 加佩耶夫 (2007)。许多上述结果或隐含地或明确地依赖于 Peskir 的极大性原则，参见。（佩斯基尔，1998 年）。在本文中，我们有兴趣了解如何将这些先前工作中的一些主要思想带入由一类马尔可夫加法过程（更准确地说是马尔可夫调制 Lévy 过程）的最大值驱动的问题的设置中。与 Ott (2013) 类似；基普里亚努和奥特（2014 年）；奥特 (2014), 最优停止边界的特征是一个普通的一阶微分方程系统，一个用于马尔可夫加法过程的调制分量的每个状态。此外，虽然尺度函数在前面提到的工作中发挥了重要作用，但我们在这里使用的是马尔可夫加法过程的尺度矩阵；由 Kyprianou 和 Palmowski (2008) 介绍；Ivanovs 和 Palmowski（2012 年）。我们在 Shepp-Shiryaev 最优停止问题（Shepp 和 Shiryaev，1993 年；Shepp 和 Shiryaev，1995 年）以及一系列有上限的最大最优停止问题的设置中举例说明了我们的计算。我们在这里使用马尔可夫加法过程的尺度矩阵；由 Kyprianou 和 Palmowski (2008) 介绍；Ivanovs 和 Palmowski（2012 年）。我们在 Shepp-Shiryaev 最优停止问题（Shepp 和 Shiryaev，1993 年；Shepp 和 Shiryaev，1995 年）以及一系列有上限的最大最优停止问题的设置中举例说明了我们的计算。我们在这里使用马尔可夫加法过程的尺度矩阵；由 Kyprianou 和 Palmowski (2008) 介绍；Ivanovs 和 Palmowski（2012 年）。我们在 Shepp-Shiryaev 最优停止问题（Shepp 和 Shiryaev，1993 年；Shepp 和 Shiryaev，1995 年）以及一系列有上限的最大最优停止问题的设置中举例说明了我们的计算。