Given a linear group G over a field k , we define a notion of index and residue of an element g∈G⁢(k⁢((t))){g\in G(k(\kern-1.707165pt(t)\kern-1.707165pt))}. The index r⁢(g){r(g)} is a rational number and the residue a group homomorphism res(g):𝔾a⁢ or ⁢𝔾m→G{\mathop{\rm res}\nolimits(g):\mathbb{G}_{a}\text{ or }\mathbb{G}_{m}\to G}. This provides an alternative proof of Gabber’s theorem stating that G has no subgroups isomorphic to 𝔾a{\mathbb{G}_{a}} or 𝔾m{\mathbb{G}_{m}} iff G⁢(k⁢[[t]])=G⁢(k⁢((t))){G(k[\kern-1.13811pt[t]\kern-1.13811pt])=G(k(\kern-1.707165pt(t)\kern-1.707165% pt))}. In the case of a reductive group, we offer an explicit connection with the theory of affine Grassmannians.

中文翻译：

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仿射格拉斯曼人的残基

给定一个域 k 上的线性群 G，我们定义一个元素 g∈G⁢(k⁢((t))){g\in G(k(\kern-1.707165pt(t)) 的索引和残差的概念\kern-1.707165pt))}。下标 r⁢(g){r(g)} 是有理数，余数是群同态 res(g):𝔾a⁢ 或 ⁢𝔾m→G{\mathop{\rm res}\nolimits(g):\ mathbb{G}_{a}\text{ 或 }\mathbb{G}_{m}\to G}。这提供了 Gabber 定理的另一种证明，即 G 没有与 𝔾a{\mathbb{G}_{a}} 或 𝔾m{\mathbb{G}_{m}} 同构的子群 iff G⁢(k⁢[[t ]])=G⁢(k⁢((t))){G(k[\kern-1.13811pt[t]\kern-1.13811pt])=G(k(\kern-1.707165pt(t)\kern -1.707165% pt))}。在还原群的情况下，我们提供了与仿射格拉斯曼理论的明确联系。