In this paper, we study the maximal ideals in a commutative ring of bicomplex numbers and then we describe the maximal ideals in a bicomplex algebra. We found that the kernel of a nonzero multiplicative $\mathbb{B}\mathbb{C}$-linear functional in a commutative bicomplex Banach algebra need not be a maximal ideal. Finally, we introduce the notion of bicomplex division algebra and generalize the Gelfand–Mazur theorem for the bicomplex division Banach algebra.

中文翻译：

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双复代数中的极大理想和双复 Gelfand-Mazur 定理

在本文中，我们研究了双复数交换环中的极大理想，然后描述了双复代数中的极大理想。我们发现非零乘法的核$\mathbb{乙}\mathbb{C}$- 可交换双复数 Banach 代数中的线性泛函不必是极大理想。最后，我们介绍了双复除法代数的概念，并将 Gelfand-Mazur 定理推广到双复除法 Banach 代数。