For the half-plane problem with external loads acting on the surface, Flamant first obtained the elastic solutions when the external load is concentrated force or uniformly distributed load. The stress field obtained decreases with the increase of depth, and each stress component is equal to zero at infinity, which is in line with our expectation. However, the displacement solution obtained does not conform to the actual situation because an abnormal phenomenon appears in which the displacement increases when depth increases. In this paper, we will consider a more complex form of external load and the past concentrated force and uniformly distributed load are only special cases of this kind of load. And the method of conformal transformation and series approximation proposed are adopted to avoid the abnormal phenomenon of displacement field. The analytic functions are obtained by the Cauchy integral of the surface stress boundary condition, and then the analytic functions are transformed by the method of series approximation. The new analytic function can ensure that the displacement at infinity is bounded. The solution proposed is an analytical method. The stress field obtained has a very high accuracy, and the displacement field obtained also conforms to the law of gradual decrease with the increase of depth. By comparing the analytical solution of stress and displacement with the numerical solution of FEM, the correctness of the derivation process in this paper will be verified, and it can be found that the numerical method has some limitations in solving the half-plane problem.

对于外载荷作用于表面的半平面问题，Flamant首先得到了外载荷为集中力或均布载荷时的弹性解。得到的应力场随着深度的增加而减小，每个应力分量在无穷远处都为零，符合我们的预期。然而，得到的位移解并不符合实际情况，因为出现了位移随深度增加而增大的异常现象。在本文中，我们将考虑一种更复杂的外载荷形式，过去的集中力和均布载荷只是这种载荷的特例。并采用所提出的保形变换和级数逼近的方法来避免位移场的异常现象。通过表面应力边界条件的柯西积分得到解析函数，然后用级数逼近的方法对解析函数进行变换。新的解析函数可以确保无穷远处的位移是有界的。提出的解决方案是一种分析方法。得到的应力场具有很高的精度，得到的位移场也符合随着深度的增加而逐渐减小的规律。通过将应力位移解析解与有限元法的数值解进行对比，验证本文推导过程的正确性，可以发现该数值方法在求解半平面问题时存在一定的局限性。然后用级数逼近的方法对解析函数进行变换。新的解析函数可以确保无穷远处的位移是有界的。提出的解决方案是一种分析方法。得到的应力场具有很高的精度，得到的位移场也符合随着深度的增加而逐渐减小的规律。通过将应力位移解析解与有限元法的数值解进行对比，验证本文推导过程的正确性，可以发现该数值方法在求解半平面问题时存在一定的局限性。然后用级数逼近的方法对解析函数进行变换。新的解析函数可以确保无穷远处的位移是有界的。提出的解决方案是一种分析方法。得到的应力场具有很高的精度，得到的位移场也符合随着深度的增加而逐渐减小的规律。通过将应力位移解析解与有限元法的数值解进行对比，验证本文推导过程的正确性，可以发现该数值方法在求解半平面问题时存在一定的局限性。得到的应力场具有很高的精度，得到的位移场也符合随着深度的增加而逐渐减小的规律。通过将应力位移解析解与有限元法的数值解进行对比，验证本文推导过程的正确性，可以发现该数值方法在求解半平面问题时存在一定的局限性。得到的应力场具有很高的精度，得到的位移场也符合随着深度的增加而逐渐减小的规律。通过将应力位移解析解与有限元法的数值解进行对比，验证本文推导过程的正确性，可以发现该数值方法在求解半平面问题时存在一定的局限性。