We present simpler algorithms for two closely related morphing problems, both based on the barycentric interpolation paradigm introduced by Floater and Gotsman, which is in turn based on Floater's asymmetric extension of Tutte's classical spring-embedding theorem. First, we give a much simpler algorithm to construct piecewise-linear morphs between planar straight-line graphs. Specifically, given isomorphic straight-line drawings $\Gamma_0$ and $\Gamma_1$ of the same 3-connected planar graph $G$, with the same convex outer face, we construct a morph from $\Gamma_0$ to $\Gamma_1$ that consists of $O(n)$ unidirectional morphing steps, in $O(n^{1+\omega/2})$ time. Our algorithm entirely avoids the classical edge-collapsing strategy dating back to Cairns; instead, in each morphing step, we interpolate the pair of weights associated with a single edge. Second, we describe a natural extension of barycentric interpolation to geodesic graphs on the flat torus. Barycentric interpolation cannot be applied directly in this setting, because the linear systems defining intermediate vertex positions are not necessarily solvable. We describe a simple scaling strategy that circumvents this issue. Computing the appropriate scaling requires $O(n^{\omega/2})$ time, after which we can can compute the drawing at any point in the morph in $O(n^{\omega/2})$ time. Our algorithm is considerably simpler than the recent algorithm of Chambers et al. (arXiv:2007.07927) and produces more natural morphs. Our techniques also yield a simple proof of a conjecture of Connelly et al. for geodesic torus triangulations.

中文翻译：

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平面和环形变形变得更容易

我们针对两个密切相关的变形问题提出了更简单的算法，它们都基于 Floater 和 Gotsman 引入的重心插值范式，而后者又基于 Floater 对 Tutte 经典弹簧嵌入定理的不对称扩展。首先，我们给出了一个更简单的算法来构造平面直线图之间的分段线性变形。具体来说，给定同构直线图 $\Gamma_0$ 和 $\Gamma_1$ 的相同 3-连通平面图 $G$，具有相同的凸外表面，我们构造从 $\Gamma_0$ 到 $\Gamma_1$ 的变形它由 $O(n)$ 单向变形步骤组成，在 $O(n^{1+\omega/2})$ 时间内。我们的算法完全避免了可追溯到凯恩斯的经典边缘折叠策略；相反，在每个变形步骤中，我们对与单个边相关的权重对进行插值。其次，我们描述了重心插值到平坦环面上的测地线图的自然扩展。在此设置中不能直接应用重心插值，因为定义中间顶点位置的线性系统不一定是可解的。我们描述了一个简单的扩展策略来规避这个问题。计算适当的缩放需要 $O(n^{\omega/2})$ 时间，之后我们可以在 $O(n^{\omega/2})$ 时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比 Chambers 等人最近的算法简单得多。(arXiv:2007.07927) 并产生更自然的变形。我们的技术还为 Connelly 等人的猜想提供了一个简单的证明。用于测地环面三角剖分。我们描述了重心插值到平坦环面上的测地线图的自然扩展。在此设置中不能直接应用重心插值，因为定义中间顶点位置的线性系统不一定可解。我们描述了一个简单的扩展策略来规避这个问题。计算适当的缩放需要 $O(n^{\omega/2})$ 时间，之后我们可以在 $O(n^{\omega/2})$ 时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比 Chambers 等人最近的算法简单得多。(arXiv:2007.07927) 并产生更自然的变形。我们的技术还为 Connelly 等人的猜想提供了一个简单的证明。用于测地环面三角剖分。我们描述了重心插值到平坦环面上的测地线图的自然扩展。在此设置中不能直接应用重心插值，因为定义中间顶点位置的线性系统不一定可解。我们描述了一个简单的扩展策略来规避这个问题。计算适当的缩放需要 $O(n^{\omega/2})$ 时间，之后我们可以在 $O(n^{\omega/2})$ 时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比 Chambers 等人最近的算法简单得多。(arXiv:2007.07927) 并产生更自然的变形。我们的技术还为 Connelly 等人的猜想提供了一个简单的证明。用于测地环面三角剖分。在此设置中不能直接应用重心插值，因为定义中间顶点位置的线性系统不一定可解。我们描述了一个简单的扩展策略来规避这个问题。计算适当的缩放需要 $O(n^{\omega/2})$ 时间，之后我们可以在 $O(n^{\omega/2})$ 时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比 Chambers 等人最近的算法简单得多。(arXiv:2007.07927) 并产生更自然的变形。我们的技术还为 Connelly 等人的猜想提供了一个简单的证明。用于测地环面三角剖分。在此设置中不能直接应用重心插值，因为定义中间顶点位置的线性系统不一定可解。我们描述了一个简单的扩展策略来规避这个问题。计算适当的缩放需要 $O(n^{\omega/2})$ 时间，之后我们可以在 $O(n^{\omega/2})$ 时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比 Chambers 等人最近的算法简单得多。(arXiv:2007.07927) 并产生更自然的变形。我们的技术还为 Connelly 等人的猜想提供了一个简单的证明。用于测地环面三角剖分。计算适当的缩放需要 $O(n^{\omega/2})$ 时间，之后我们可以在 $O(n^{\omega/2})$ 时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比 Chambers 等人最近的算法简单得多。(arXiv:2007.07927) 并产生更自然的变形。我们的技术还为 Connelly 等人的猜想提供了一个简单的证明。用于测地环面三角剖分。计算适当的缩放需要 $O(n^{\omega/2})$ 时间，之后我们可以在 $O(n^{\omega/2})$ 时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比 Chambers 等人最近的算法简单得多。(arXiv:2007.07927) 并产生更自然的变形。我们的技术还为 Connelly 等人的猜想提供了一个简单的证明。用于测地环面三角剖分。