In this paper, we prove existence of multiple non-radial solutions to the Hardy-Sobolev equation$\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\Delta }u-\frac{\gamma }{|x{|}^2}u=\frac{1}{|x{|}^s}|u{|}^{p_s-2}u\hfill & \text{ in }{\mathbb{R}}^N\setminus \{0\},\hfill \\ u\ge 0,\hfill & \hfill \end{array}$ where $N\ge 3$, $s\in [0,2)$, $p_s=\frac{2(N-s)}{N-2}$ and $\gamma \in (-\infty ,\frac{{(N-2)}^2}{4})$. We extend results of E.N. Dancer, F. Gladiali, M. Grossi (2017) [12] where only the case $s=0$ is considered. The results specially rely on a careful analysis of the kernel of the linearized operator. Moreover, thanks to monotonicity properties of the solutions, we separate two branches of non-radial solutions.

中文翻译：

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Hardy-Sobolev 方程的分岔分析

在本文中，我们证明了 Hardy-Sobolev 方程的多个非径向解的存在性$\{\begin{array}{cc}——\mathrm{\Delta }你——\frac{\gamma }{|X{|}^2}你=\frac{1}{|X{|}^{秒}}|你{|}^{{磷}_{秒}——2}你\hfill & \text{ 在 }{\mathbb{R。}}^N\setminus \{0\},\hfill \\ 你\ge 0,\hfill & \hfill \end{array}$ 在哪里 $N\ge \mathrm{第三名}$, $秒\in [0,2)$, ${磷}_{秒}=\frac{2(N——秒)}{N——2}$ 其他 $\gamma \in (——\infty ,\frac{{(N——2)}^2}{\mathrm{第四名}})$. 我们扩展了 EN Dancer、F. Gladiali、M. Grossi (2017) [12] 的结果，其中只有$秒=0$被认为。结果特别依赖于对线性化算子内核的仔细分析。此外，由于解的单调性，我们将非径向解的两个分支分开。