The pro-étale fundamental group of a scheme, introduced by Bhatt and Scholze, generalizes the usual étale fundamental group $\pi _1^{\acute{\mathrm{e}}{\mathrm{t}}}$ defined in SGA1 and leads to an interesting class of “geometric coverings” of schemes, generalizing finite étale covers. We prove exactness of the general homotopy sequence for the pro-étale fundamental group, i.e., that for a geometric point $\bar{s}$ on $S$ and a flat proper morphism $X \rightarrow S$ of finite presentation whose geometric fibres are connected and reduced, the sequence $ \pi _1^{{\mathrm{pro}}\acute{\mathrm{e}}{\mathrm{t}}}(X_{\bar{s}}) \rightarrow \pi _1^{{\mathrm{pro}}\acute{\mathrm{e}}{\mathrm{t}}}(X) \rightarrow \pi _1^{{\mathrm{pro}}\acute{\mathrm{e}}{\mathrm{t}}}(S) \rightarrow 1 $ is “nearly exact.” This generalizes a theorem of Grothendieck from finite étale covers to geometric coverings. We achieve the proof by constructing an infinite (i.e., non-quasi-compact) analogue of the Stein factorization in this setting.

中文翻译：

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Pro-Étale 基本组的同伦精确序列

由 Bhatt 和 Scholze 引入的方案的 pro-étale 基本群推广了 SGA1 中定义的通常的 étale 基本群 $\pi _1^{\acute{\m​​athrm{e}}{\mathrm{t}}}$ 和导致了一类有趣的方案“几何覆盖”，概括了有限的étale覆盖。我们证明了 pro-étale 基本群的一般同伦序列的精确性，即对于 $S$ 上的几何点 $\bar{s}$ 和有限表示的平真态射 $X \rightarrow S$，其几何纤维被连接和减少，序列 $ \pi _1^{{\mathrm{pro}}\acute{\m​​athrm{e}}{\mathrm{t}}}(X_{\bar{s}}) \rightarrow \pi _1^{{\mathrm{pro}}\acute{\m​​athrm{e}}{\mathrm{t}}}(X) \rightarrow \pi _1^{{\mathrm{pro}}\acute{\ mathrm{e}}{\mathrm{t}}}(S) \rightarrow 1 $ 是“几乎准确的。” 这将格洛腾迪克的一个定理从有限 étale 覆盖推广到几何覆盖。我们通过在此设置中构造 Stein 分解的无限（即非准紧）类似物来实现证明。