We prove the KKV conjecture expressing Gromov–Witten invariants of $K3$ surfaces in terms of modular forms. Our results apply in every genus and for every curve class. The proof uses the Gromov–Witten/Pairs correspondence for $K3$-fibered hypersurfaces of dimension 3 to reduce the KKV conjecture to statements about stable pairs on (thickenings of) $K3$ surfaces. Using degeneration arguments and new multiple cover results for stable pairs, we reduce the KKV conjecture further to the known primitive cases. Our results yield a new proof of the full Yau–Zaslow formula, establish new Gromov–Witten multiple cover formulas, and express the fiberwise Gromov–Witten partition functions of $K3$-fibered 3-folds in terms of explicit modular forms.

中文翻译：

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曲面的 KATZ-KLEMM-VAFA 猜想

我们证明了表达 Gromov-Witten 不变量的 KKV 猜想$K3$模块化形式的表面。我们的结果适用于每个属和每个曲线类别。证明使用 Gromov–Witten/Pairs 对应$K3$- 3维的纤维化超曲面，以将 KKV 猜想简化为关于（增厚）上稳定对的陈述$K3$表面。使用退化参数和稳定对的新多重覆盖结果，我们将 KKV 猜想进一步简化为已知的原始情况。我们的结果产生了完整 Yau-Zaslow 公式的新证明，建立了新的 Gromov-Witten 多重覆盖公式，并表达了纤维方向的 Gromov-Witten 配分函数$K3$- 就显式模形式而言，纤维化 3 倍。