We address a unification of the Schubert calculus problems solved by Buch [A Littlewood–Richardson rule for the $K$-theory of Grassmannians, Acta Math. 189 (2002), 37–78] and Knutson and Tao [Puzzles and (equivariant) cohomology of Grassmannians, Duke Math. J.119(2) (2003), 221–260]. That is, we prove a combinatorial rule for the structure coefficients in the torus-equivariant $K$-theory of Grassmannians with respect to the basis of Schubert structure sheaves. This rule is positive in the sense of Anderson et al. [Positivity and Kleiman transversality in equivariant $K$-theory of homogeneous spaces, J. Eur. Math. Soc.13 (2011), 57–84] and in a stronger form. Our work is based on the combinatorics of genomic tableaux and a generalization of Schützenberger’s [Combinatoire et représentation du groupe symétrique, in Actes Table Ronde CNRS, Univ. Louis-Pasteur Strasbourg, Strasbourg, 1976, Lecture Notes in Mathematics, 579 (Springer, Berlin, 1977), 59–113] jeu de taquin. Using our rule, we deduce the two other combinatorial rules for these coefficients. The first is a conjecture of Thomas and Yong [Equivariant Schubert calculus and jeu de taquin, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) (2013), to appear]. The second (found in a sequel to this paper) is a puzzle rule, resolving a conjecture of Knutson and Vakil from 2005.

中文翻译：

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格拉斯曼的等变理论

我们解决了由 Buch 解决的舒伯特微积分问题的统一 [A Littlewood-Richardson rule for the$K$——格拉斯曼理论，数学学报.189(2002), 37–78] 和 Knutson 和 Tao [Grassmannians 的谜题和（等变）上同调，杜克数学。J。119(2) (2003), 221–260]。也就是说，我们证明了环面等变式中结构系数的组合规则$K$-关于舒伯特结构滑轮基础的格拉斯曼理论。这条规则在安德森的意义上是积极的等。[等变式中的正性和克莱曼横断性$K$- 齐次空间理论，J.欧元。数学。社会党。13(2011), 57–84] 并以更强大的形式出现。我们的工作基于基因组画面以及 Schützenberger 的 [Combinatoire et représentation du groupe symétrique，在Actes Table Ronde CNRS，大学。路易斯-巴斯德斯特拉斯堡，斯特拉斯堡，1976, 数学讲义, 579 (Springer, Berlin, 1977), 59–113]游戏. 使用我们的规则，我们推导出这些系数的另外两个组合规则。第一个是 Thomas 和 Yong 的猜想 [Equivariant Schubert calculus and jeu de taquin,安。研究所。傅立叶（格勒诺布尔）（2013 年），出现]。第二个（在本文的续集中发现）是谜规则，解决了 2005 年 Knutson 和 Vakil 的猜想。