We introduce a software package called HIFIR for preconditioning sparse, unsymmetric, ill-conditioned, and potentially singular systems. HIFIR computes a hybrid incomplete factorization, which combines multilevel incomplete LU factorization with a truncated, rank-revealing QR factorization on the final Schur complement. This novel hybridization is based on the new theory of approximate generalized inverse and $\epsilon$-accuracy. It enables near-optimal preconditioners for consistent systems and enables flexible GMRES to solve inconsistent systems when coupled with iterative refinement. In this paper, we focus on some practical algorithmic and software issues of HIFIR. In particular, we introduce a new inverse-based rook pivoting into ILU, which improves the robustness and the overall efficiency for some ill-conditioned systems by significantly reducing the size of the final Schur complement for some systems. We also describe the software design of HIFIR in terms of its efficient data structures for supporting rook pivoting in a multilevel setting, its template-based generic programming interfaces for mixed-precision real and complex values in C++, and its user-friendly high-level interfaces in MATLAB and Python. We demonstrate the effectiveness of HIFIR for ill-conditioned or singular systems arising from several applications, including the Helmholtz equation, linear elasticity, stationary incompressible Navier--Stokes equations, and time-dependent advection-diffusion equation.

中文翻译：

---

HIFIR：混合不完全分解与迭代细化预处理病态和奇异系统

我们引入了一个名为 HIFIR 的软件包，用于预处理稀疏、非对称、病态和潜在的奇异系统。HIFIR 计算混合不完全分解，它将多级不完全 LU 分解与最终 Schur 补集上的截断、显示秩的 QR 分解相结合。这种新颖的杂交基于近似广义逆和 $\epsilon$ 精度的新理论。它为一致的系统提供近乎最佳的预处理器，并在与迭代细化相结合时使灵活的 GMRES 能够解决不一致的系统。在本文中，我们重点讨论了 HIFIR 的一些实际算法和软件问题。特别是，我们引入了一个新的基于逆的车旋转到 ILU，通过显着减少某些系统的最终 Schur 补充的大小，它提高了某些病态系统的鲁棒性和整体效率。我们还描述了 HIFIR 的软件设计，包括其在多级设置中支持车轴旋转的高效数据结构、用于 C++ 中混合精度实数和复数的基于模板的通用编程接口，以及其用户友好的高级别的MATLAB 和 Python 中的接口。我们证明了 HIFIR 对由多种应用产生的病态或奇异系统的有效性，包括亥姆霍兹方程、线性弹性、静止不可压缩 Navier-Stokes 方程和时间相关的对流扩散方程。我们还描述了 HIFIR 的软件设计，包括其在多级设置中支持车轴旋转的高效数据结构、用于 C++ 中混合精度实数和复数的基于模板的通用编程接口，以及其用户友好的高级别的MATLAB 和 Python 中的接口。我们证明了 HIFIR 对由多种应用产生的病态或奇异系统的有效性，包括亥姆霍兹方程、线性弹性、静止不可压缩 Navier-Stokes 方程和时间相关的对流扩散方程。我们还描述了 HIFIR 的软件设计，包括其在多级设置中支持车轴旋转的高效数据结构、用于 C++ 中混合精度实数和复数的基于模板的通用编程接口，以及其用户友好的高级别的MATLAB 和 Python 中的接口。我们证明了 HIFIR 对由多种应用产生的病态或奇异系统的有效性，包括亥姆霍兹方程、线性弹性、静止不可压缩 Navier-Stokes 方程和时间相关的对流扩散方程。