In Statistical Relational Artificial Intelligence, a branch of AI and machine learning which combines the logical and statistical schools of AI, one uses the concept {\em para\-metrized probabilistic graphical model (PPGM)} to model (conditional) dependencies between random variables and to make probabilistic inferences about events on a space of ``possible worlds''. The set of possible worlds with underlying domain $D$ (a set of objects) can be represented by the set $\mathbf{W}_D$ of all first-order structures (for a suitable signature) with domain $D$. Using a formal logic we can describe events on $\mathbf{W}_D$. By combining a logic and a PPGM we can also define a probability distribution $\mathbb{P}_D$ on $\mathbf{W}_D$ and use it to compute the probability of an event. We consider a logic, denoted $PLA$, with truth values in the unit interval, which uses aggregation functions, such as arithmetic mean, geometric mean, maximum and minimum instead of quantifiers. However we face the problem of computational efficiency and this problem is an obstacle to the wider use of methods from Statistical Relational AI in practical applications. We address this problem by proving that the described probability will, under certain assumptions on the PPGM and the sentence $\varphi$, converge as the size of $D$ tends to infinity. The convergence result is obtained by showing that every formula $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ which contains only ``admissible'' aggregation functions (e.g. arithmetic and geometric mean, max and min) is asymptotically equivalent to a formula $\psi(x_1, \ldots, x_k)$ without aggregation functions.

中文翻译：

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有向图模型中部分连续聚合函数的渐近消除

在统计关系人工智能中，人工智能和机器学习的一个分支，结合了人工智能的逻辑和统计学派，使用概念 {\em 参数化概率图模型 (PPGM)} 来建模随机变量之间的（条件）依赖关系并对“可能世界”空间上的事件进行概率推断。具有潜在域 $D$（一组对象）的可能世界集可以由域 $D$ 的所有一阶结构（对于合适的签名）的集合 $\mathbf{W}_D$ 表示。使用形式逻辑，我们可以描述 $\mathbf{W}_D$ 上的事件。通过结合逻辑和 PPGM，我们还可以在 $\mathbf{W}_D$ 上定义概率分布 $\mathbb{P}_D$ 并使用它来计算事件的概率。我们考虑一个逻辑，表示为 $PLA$，单位区间的真值，它使用聚合函数，如算术平均值、几何平均值、最大值和最小值而不是量词。然而，我们面临着计算效率的问题，这个问题阻碍了统计关系 AI 方法在实际应用中的广泛应用。我们通过证明所描述的概率将在 PPGM 和句子 $\varphi$ 的某些假设下随着 $D$ 的大小趋于无穷大而收敛来解决这个问题。收敛结果是通过表明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。它使用聚合函数，例如算术平均值、几何平均值、最大值和最小值而不是量词。然而，我们面临着计算效率的问题，这个问题阻碍了统计关系 AI 方法在实际应用中的广泛应用。我们通过证明所描述的概率将在 PPGM 和句子 $\varphi$ 的某些假设下随着 $D$ 的大小趋于无穷大而收敛来解决这个问题。收敛结果是通过表明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。它使用聚合函数，例如算术平均值、几何平均值、最大值和最小值而不是量词。然而，我们面临着计算效率的问题，这个问题阻碍了统计关系 AI 方法在实际应用中的广泛应用。我们通过证明所描述的概率将在 PPGM 和句子 $\varphi$ 的某些假设下随着 $D$ 的大小趋于无穷大而收敛来解决这个问题。收敛结果是通过表明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。最大值和最小值而不是量词。然而，我们面临着计算效率的问题，这个问题阻碍了统计关系 AI 方法在实际应用中的广泛应用。我们通过证明所描述的概率将在 PPGM 和句子 $\varphi$ 的某些假设下随着 $D$ 的大小趋于无穷大而收敛来解决这个问题。收敛结果是通过表明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。最大值和最小值而不是量词。然而，我们面临着计算效率的问题，这个问题阻碍了统计关系 AI 方法在实际应用中的广泛应用。我们通过证明所描述的概率将在 PPGM 和句子 $\varphi$ 的某些假设下随着 $D$ 的大小趋于无穷大而收敛来解决这个问题。收敛结果是通过表明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。然而，我们面临着计算效率的问题，这个问题阻碍了统计关系 AI 方法在实际应用中的广泛应用。我们通过证明所描述的概率将在 PPGM 和句子 $\varphi$ 的某些假设下随着 $D$ 的大小趋于无穷大而收敛来解决这个问题。收敛结果是通过表明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。然而，我们面临着计算效率的问题，这个问题阻碍了统计关系 AI 方法在实际应用中的广泛应用。我们通过证明所描述的概率将在 PPGM 和句子 $\varphi$ 的某些假设下随着 $D$ 的大小趋于无穷大而收敛来解决这个问题。收敛结果是通过表明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。收敛，因为 $D$ 的大小趋于无穷大。收敛结果是通过证明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。收敛，因为 $D$ 的大小趋于无穷大。收敛结果是通过证明每个仅包含“可接受”聚合函数（例如算术和几何平均值，最大值和最小值）的公式 $\varphi(x_1, \ldots, x_k)$ 渐近等价于公式 $ \psi(x_1, \ldots, x_k)$ 没有聚合函数。