We study population protocols, a model of distributed computing appropriate for modeling well-mixed chemical reaction networks and other physical systems where agents exchange information in pairwise interactions, but have no control over their schedule of interaction partners. The well-studied *majority* problem is that of determining in an initial population of $n$ agents, each with one of two opinions $A$ or $B$, whether there are more $A$, more $B$, or a tie. A *stable* protocol solves this problem with probability 1 by eventually entering a configuration in which all agents agree on a correct consensus decision of $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$, or $\mathsf{T}$, from which the consensus cannot change. We describe a protocol that solves this problem using $O(\log n)$ states ($\log \log n + O(1)$ bits of memory) and optimal expected time $O(\log n)$. The number of states $O(\log n)$ is known to be optimal for the class of polylogarithmic time stable protocols that are "output dominant" and "monotone". These are two natural constraints satisfied by our protocol, making it simultaneously time- and state-optimal for that class. We introduce a key technique called a "fixed resolution clock" to achieve partial synchronization. Our protocol is *nonuniform*: the transition function has the value $\left \lceil {\log n} \right \rceil$ encoded in it. We show that the protocol can be modified to be uniform, while increasing the state complexity to $\Theta(\log n \log \log n)$.

中文翻译：

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一种求解绝对多数的时空最优稳定种群协议

我们研究种群协议，这是一种分布式计算模型，适用于对混合良好的化学反应网络和其他物理系统进行建模，其中代理在成对交互中交换信息，但无法控制其交互伙伴的时间表。充分研究的*多数*问题是在 $n$ 个代理的初始群体中确定，每个代理具有 $A$ 或 $B$ 两种意见之一，是否有更多的 $A$、更多的 $B$，或一个领带。*stable* 协议通过最终进入一个配置以概率 1 解决这个问题，在该配置中所有代理都同意正确的共识决策 $\mathsf{A}$、$\mathsf{B}$ 或 $\mathsf{T} $，共识不能改变。我们描述了一个协议，它使用 $O(\log n)$ 状态（$\log \log n + O(1)$ 位内存）和最佳预期时间 $O(\log n)$ 来解决这个问题。已知状态数 $O(\log n)$ 对于“输出主导”和“单调”的多对数时间稳定协议类来说是最佳的。这是我们的协议满足的两个自然约束，使其同时对该类进行时间和状态优化。我们引入了一种称为“固定分辨率时钟”的关键技术来实现部分同步。我们的协议是*非均匀*：转换函数的值 $\left \lceil {\log n} \right \rceil$ 编码在其中。我们表明可以将协议修改为统一的，同时将状态复杂度增加到 $\Theta(\log n \log \log n)$。已知状态数 $O(\log n)$ 对于“输出主导”和“单调”的多对数时间稳定协议类来说是最佳的。这是我们的协议满足的两个自然约束，使其同时对该类进行时间和状态优化。我们引入了一种称为“固定分辨率时钟”的关键技术来实现部分同步。我们的协议是*非均匀*：转换函数的值 $\left \lceil {\log n} \right \rceil$ 编码在其中。我们表明可以将协议修改为统一的，同时将状态复杂度增加到 $\Theta(\log n \log \log n)$。已知状态数 $O(\log n)$ 对于“输出主导”和“单调”的多对数时间稳定协议类来说是最佳的。这是我们的协议满足的两个自然约束，使其同时对该类进行时间和状态优化。我们引入了一种称为“固定分辨率时钟”的关键技术来实现部分同步。我们的协议是*非均匀*：转换函数的值 $\left \lceil {\log n} \right \rceil$ 编码在其中。我们表明可以将协议修改为统一的，同时将状态复杂度增加到 $\Theta(\log n \log \log n)$。使其同时对该类进行时间和状态优化。我们引入了一种称为“固定分辨率时钟”的关键技术来实现部分同步。我们的协议是*非均匀*：转换函数的值 $\left \lceil {\log n} \right \rceil$ 编码在其中。我们表明可以将协议修改为统一的，同时将状态复杂度增加到 $\Theta(\log n \log \log n)$。使其同时对该类进行时间和状态优化。我们引入了一种称为“固定分辨率时钟”的关键技术来实现部分同步。我们的协议是*非均匀*：转换函数的值 $\left \lceil {\log n} \right \rceil$ 编码在其中。我们表明可以将协议修改为统一的，同时将状态复杂度增加到 $\Theta(\log n \log \log n)$。