We consider the problem of assigning agents to resources in the two-sided preference model with upper and lower-quota requirements on resources. This setting (known as the HRLQ setting) models real-world applications like assigning students to colleges or courses, resident doctors to hospitals and so on. In presence of lower-quotas, an instance may not admit a stable matching that fulfils the lower-quotas. Prem Krishnaa et al. [SAGT 2020] study two alternative notions of optimality for the HRLQ instances -- envy-freeness and relaxed stability. They investigate the complexity of computing a maximum size envy-free matching (MAXEFM) and a maximum size relaxed stable matching(MAXRSM) that fulfils the lower-quotas. They show that both these optimization problems are NP-hard and not approximable within a constant factor unless P=NP. In this work, we investigate the parameterized complexity of MAXEFM and MAXRSM. We consider natural parameters derived from the instance -- the number of lower-quota hospitals, deficiency of the instance, size of a maximum matching, size of a stable matching, length of the preference list of a lower-quota hospital, to name a few. We show that MAXEFM problem is W[1]-hard for several interesting parameters but admits a polynomial size kernel for a combination of parameters. We show that MAXRSM problem does not admit an FPT algorithm unless P=NP for two natural parameters but admits a polynomial size kernel for a combination of parameters in a special case. We also show that both these problems admit FPT algorithms on a set of parameters.

中文翻译：

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低配额的无嫉妒和轻松稳定性：参数化视角

我们考虑了在对资源有上限和下限要求的双边偏好模型中为资源分配代理的问题。此设置（称为 HRLQ 设置）模拟现实世界的应用程序，例如将学生分配到大学或课程，将住院医生分配到医院等。在存在较低配额的情况下，实例可能不允许满足较低配额的稳定匹配。Prem Krishnaa 等。[SAGT 2020] 研究了 HRLQ 实例最优性的两个替代概念——无嫉妒和放松稳定性。他们研究了计算最大尺寸无羡慕匹配 (MAXEFM) 和满足较低配额的最大尺寸松弛稳定匹配 (MAXRSM) 的复杂性。他们表明，除非 P=NP，否则这两个优化问题都是 NP-hard 并且在常数因子内不可逼近。在这项工作中，我们研究了 MAXEFM 和 MAXRSM 的参数化复杂度。我们考虑从实例导出的自然参数——低配额医院的数量、实例的不足、最大匹配的大小、稳定匹配的大小、低配额医院的偏好列表的长度，以命名一个很少。我们证明 MAXEFM 问题对于几个有趣的参数来说是 W[1]-hard 问题，但是对于参数组合允许多项式大小的内核。我们表明，除非两个自然参数的 P=NP，否则 MAXRSM 问题不接受 FPT 算法，但在特殊情况下允许参数组合的多项式大小核。我们还表明，这两个问题都承认 FPT 算法在一组参数上。我们考虑从实例导出的自然参数——低配额医院的数量、实例的不足、最大匹配的大小、稳定匹配的大小、低配额医院的偏好列表的长度，以命名一个很少。我们证明 MAXEFM 问题对于几个有趣的参数来说是 W[1]-hard 问题，但是对于参数组合允许多项式大小的内核。我们表明，除非两个自然参数的 P=NP，否则 MAXRSM 问题不接受 FPT 算法，但在特殊情况下允许参数组合的多项式大小核。我们还表明，这两个问题都承认 FPT 算法在一组参数上。我们考虑从实例导出的自然参数——低配额医院的数量、实例的不足、最大匹配的大小、稳定匹配的大小、低配额医院的偏好列表的长度，以命名一个很少。我们证明 MAXEFM 问题对于几个有趣的参数来说是 W[1]-hard 问题，但是对于参数组合允许多项式大小的内核。我们表明，除非两个自然参数的 P=NP，否则 MAXRSM 问题不接受 FPT 算法，但在特殊情况下允许参数组合的多项式大小核。我们还表明，这两个问题都承认 FPT 算法在一组参数上。我们证明 MAXEFM 问题对于几个有趣的参数来说是 W[1]-hard 问题，但是对于参数组合允许多项式大小的内核。我们表明，除非两个自然参数的 P=NP，否则 MAXRSM 问题不接受 FPT 算法，但在特殊情况下允许参数组合的多项式大小核。我们还表明，这两个问题都承认 FPT 算法在一组参数上。我们证明 MAXEFM 问题对于几个有趣的参数来说是 W[1]-hard 问题，但是对于参数组合允许多项式大小的内核。我们表明，除非两个自然参数的 P=NP，否则 MAXRSM 问题不接受 FPT 算法，但在特殊情况下允许参数组合的多项式大小核。我们还表明，这两个问题都承认 FPT 算法在一组参数上。