We study the Bergman metric of a finite ball quotient $\mathbb{B}^n/\Gamma $, where $n \geq 2$ and $\Gamma \subseteq{\operatorname{Aut}}({\mathbb{B}}^n)$ is a finite, fixed point free, abelian group. We prove that this metric is Kähler–Einstein if and only if $\Gamma $ is trivial, that is, when the ball quotient $\mathbb{B}^n/\Gamma $ is the unit ball ${\mathbb{B}}^n$ itself. As a consequence, we characterize the unit ball among normal Stein spaces with isolated singularities and abelian fundamental groups in terms of the existence of a Bergman–Einstein metric.

中文翻译：

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关于用伯格曼-爱因斯坦度量对正态斯坦空间和有限球商的分类

我们研究有限球商 $\mathbb{B}^n/\Gamma $ 的 Bergman 度量，其中 $n \geq 2$ 和 $\Gamma \subseteq{\operatorname{Aut}}({\mathbb{B} }^n)$ 是一个有限的、无定点的阿贝尔群。我们证明这个度量是 Kähler-Einstein 当且仅当 $\Gamma $ 是微不足道的，即当球商 $\mathbb{B}^n/\Gamma $ 是单位球 ${\mathbb{B} }^n$ 本身。因此，我们根据伯格曼-爱因斯坦度量的存在来表征具有孤立奇点和阿贝尔基本群的正常斯坦空间中的单位球。