In this paper, we show that if (Xn,Yn) is the nth solution of the Pell equation X2 − dY2 = ±1 for some non-square d, then given any integer c, the equation c = Xn − 2m has at most 2 integer solutions (n,m) with n ≥ 0 and m ≥ 0, except for the only pair (c,d) = (−1, 2). Moreover, we show that this bound is optimal. Additionally, we propose a conjecture about the number of solutions of Pillai’s problem in linear recurrent sequences.

中文翻译：

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关于 Pell 方程的 X 坐标和 2 的幂的 Pillai 问题

在本文中，我们证明如果(Xn,是n)是个nPell 方程的第 th 解X2 - d是2 = ±1对于一些非正方形d, 然后给定任何整数C, 方程C = Xn - 2米最多有2整数解(n,米)和n ≥ 0和米 ≥ 0, 除了唯一的一对(C,d) = (-1, 2). 此外，我们证明这个界限是最优的。此外，我们提出了一个关于 Pillai 问题在线性循环序列中的解数的猜想。