This work presents a suitable mathematical analysis to understand the properties of convergence and bounded variation of a new { fully discrete locally conservative} Lagrangian--Eulerian {explicit} numerical scheme to the entropy solution in the sense of Kruzhkov via weak asymptotic method. We also make use of the weak asymptotic method to connect the theoretical developments with the computational approach within the practical framework of a solid numerical analysis. This method also serves to address the issue of notions of solutions, and its resulting algorithms have been proven to be effective to study nonlinear wave formations and rarefaction interactions in intricate applications. The weak asymptotic solutions we compute in this study with our novel Lagrangian--Eulerian framework are shown to coincide with classical solutions and Kruzhkov entropy solutions in the scalar case. Moreover, we present and discuss significant computational aspects by means of numerical experiments related to nontrivial problems: a nonlocal traffic model, the $2 \times 2$ symmetric Keyfitz--Kranzer system, and numerical studies via Wasserstein distance to explain shock interaction with the fundamental inviscid Burgers' model for fluids. Therefore, the proposed weak asymptotic analysis, when applied to the Lagrangian--Eulerian framework, fits in properly with the classical theory while optimizing the mathematical computations for the construction of new accurate numerical schemes.

中文翻译：

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通过弱渐近方法收敛拉格朗日-欧拉方案

这项工作提出了一种合适的数学分析，以通过弱渐近方法理解 Kruzhkov 意义上的熵解的新 {完全离散局部保守}拉格朗日-欧拉 {显式} 数值方案的收敛和有界变化的性质。我们还利用弱渐近方法在实体数值分析的实际框架内将理论发展与计算方法联系起来。该方法还用于解决解的概念问题，并且其结果算法已被证明对于研究复杂应用中的非线性波形成和稀疏相互作用是有效的。我们在本研究中使用我们新颖的拉格朗日-欧拉框架计算的弱渐近解与标量情况下的经典解和 Kruzhkov 熵解一致。此外，我们通过与非平凡问题相关的数值实验来展示和讨论重要的计算方面：非局部交通模型、$2 \times 2$ 对称 Keyfitz--Kranzer 系统，以及通过 Wasserstein 距离的数值研究来解释冲击与基本面的相互作用非粘性 Burgers 流体模型。因此，所提出的弱渐近分析，当应用于拉格朗日-欧拉框架时，在优化数学计算以构建新的精确数值方案的同时，与经典理论非常吻合。我们通过与非平凡问题相关的数值实验来展示和讨论重要的计算方面：非局部交通模型、$2 \times 2$ 对称 Keyfitz--Kranzer 系统，以及通过 Wasserstein 距离的数值研究来解释与基本无粘性汉堡的冲击相互作用' 流体模型。因此，所提出的弱渐近分析，当应用于拉格朗日-欧拉框架时，在优化数学计算以构建新的精确数值方案的同时，与经典理论非常吻合。我们通过与非平凡问题相关的数值实验来展示和讨论重要的计算方面：非局部交通模型、$2 \times 2$ 对称 Keyfitz--Kranzer 系统，以及通过 Wasserstein 距离的数值研究来解释与基本无粘性汉堡的冲击相互作用' 流体模型。因此，所提出的弱渐近分析，当应用于拉格朗日-欧拉框架时，在优化数学计算以构建新的精确数值方案的同时，与经典理论非常吻合。以及通过 Wasserstein 距离进行的数值研究，以解释激波与基本无粘性 Burgers 流体模型的相互作用。因此，所提出的弱渐近分析，当应用于拉格朗日-欧拉框架时，在优化数学计算以构建新的精确数值方案的同时，与经典理论非常吻合。和通过 Wasserstein 距离进行的数值研究，以解释激波与基本无粘伯格斯流体模型的相互作用。因此，所提出的弱渐近分析，当应用于拉格朗日-欧拉框架时，在优化数学计算以构建新的精确数值方案的同时，与经典理论非常吻合。