SIAM Journal on Computing, Volume 50, Issue 3, Page 1014-1033, January 2021.
In 1988, Vazirani gave an NC algorithm for computing the number of perfect matchings in $K_{3,3}$-minor-free graphs by building on Kasteleyn's scheme for planar graphs, and stated that this “opens up the possibility of obtaining an NC algorithm for finding a perfect matching in $K_{3,3}$-free graphs.” In this paper, we finally settle this 30-year-old open problem. Building on recent NC algorithms for planar and bounded-genus perfect matching by Anari and Vazirani and later by Sankowski, we obtain NC algorithms for perfect matching in any minor-closed graph family that forbids a one-crossing graph. This family includes several well-studied graph families including the $K_{3,3}$-minor-free graphs and $K_5$-minor-free graphs. Graphs in these families not only have unbounded genus, but can have genus as high as $O(n)$. Our method applies as well to several other problems related to perfect matching. In particular, we obtain NC algorithms for the following problems in any family of graphs (or networks) with a one-crossing forbidden minor: (1) Determining whether a given graph has a perfect matching and, if so, finding one. (2) Finding a minimum-weight perfect matching in the graph, assuming that the edge weights are polynomially bounded. (3) Finding a maximum $st$-flow in the network, with arbitrary capacities. The main new idea enabling our results is the definition and use of matching-mimicking networks, small replacement networks that behave the same with respect to matching problems involving a fixed set of terminals, as the larger network they replace.

中文翻译：

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用于计算无一交叉小图中的完美匹配和最大流的 NC 算法

SIAM Journal on Computing，第 50 卷，第 3 期，第 1014-1033 页，2021 年 1 月。
1988 年，Vazirani 基于 Kasteleyn 的平面图方案给出了一种计算 $K_{3,3}$-minor-free 图中完美匹配数的 NC 算法，并指出这“开辟了获得一个用于在 $K_{3,3}$-free 图中找到完美匹配的 NC 算法。” 在本文中，我们终于解决了这个 30 年前的开放问题。基于最近由 Anari 和 Vazirani 以及后来由 Sankowski 提出的用于平面和有界属完美匹配的 NC 算法，我们获得了在任何禁止单交叉图的小闭图族中进行完美匹配的 NC 算法。该系列包括几个经过充分研究的图系列，包括 $K_{3,3}$-minor-free 图和 $K_5$-minor-free 图。这些族中的图不仅具有无界属，而且可以具有高达 $O(n)$ 的属。我们的方法也适用于与完美匹配相关的其他几个问题。特别是，我们在具有单交叉禁止次要的任何图（或网络）族中获得以下问题的 NC 算法：（1）确定给定图是否具有完美匹配，如果是，则找到一个。(2) 在图中找到一个最小权重的完美匹配，假设边权重是多项式有界的。(3) 在网络中找到一个最大的 $st$-flow，具有任意容量。实现我们的结果的主要新想法是匹配模拟网络的定义和使用，小型替代网络在涉及一组固定终端的匹配问题方面表现相同，因为它们取代了更大的网络。我们在具有单交叉禁止次要的任何图（或网络）族中获得针对以下问题的 NC 算法：（1）确定给定的图是否具有完美匹配，如果是，则找到一个。(2) 在图中找到一个最小权重的完美匹配，假设边权重是多项式有界的。(3) 在网络中找到一个最大的 $st$-flow，具有任意容量。实现我们的结果的主要新想法是匹配模拟网络的定义和使用，小型替代网络在涉及一组固定终端的匹配问题方面表现相同，因为它们取代了更大的网络。我们在具有单交叉禁止次要的任何图（或网络）族中获得针对以下问题的 NC 算法：（1）确定给定的图是否具有完美匹配，如果是，则找到一个。(2) 在图中找到一个最小权重的完美匹配，假设边权重是多项式有界的。(3) 在网络中找到一个最大的 $st$-flow，具有任意容量。实现我们的结果的主要新想法是匹配模拟网络的定义和使用，小型替代网络在涉及一组固定终端的匹配问题方面表现相同，因为它们替代了更大的网络。(2) 在图中找到一个最小权重的完美匹配，假设边权重是多项式有界的。(3) 在网络中找到一个最大的 $st$-flow，具有任意容量。实现我们的结果的主要新想法是匹配模拟网络的定义和使用，小型替代网络在涉及一组固定终端的匹配问题方面表现相同，因为它们取代了更大的网络。(2) 在图中找到一个最小权重的完美匹配，假设边权重是多项式有界的。(3) 在网络中找到一个最大的 $st$-flow，具有任意容量。实现我们的结果的主要新想法是匹配模拟网络的定义和使用，小型替代网络在涉及一组固定终端的匹配问题方面表现相同，因为它们取代了更大的网络。