A formal holomorphic map H: (M,p)!M ′ from a germ of a real-analytic submanifold M⊂C at p∈M into a real-analytic subset M ′⊂CN ′ is an N ′-tuple of formal holomorphic power series H=(H1, ...,HN ′) satisfying H(p)∈M ′ with the property that, for any germ of a real-analytic function δ(w, w) at H(p)∈C ′ which vanishes on M ′, the formal power series δ(H(z), H(z)) vanishes on M . There is an abundance of examples showing that formal maps may diverge: After the trivial example of self-maps of a complex submanifold, possibly the simplest non-trivial example is given by the formal maps of (R, 0) into R which are just given by the formal power series in z∈C with real coefficients, that is, by elements of R[[z]]. It is a surprising fact at first that, for formal mappings between real submanifolds in complex spaces, if one assumes that the trivial examples above are excluded in a suitable sense, the situation is fundamentally different. The first result of this kind was encountered by Chern and Moser in [CM], where—as a byproduct of the convergence of their normal form—it follows that every formal holomorphic invertible map between Levinon-degenerate hypersurfaces in C necessarily converges. The convergence problem, that is, deciding whether formal maps, as described above, are in fact convergent, has been studied intensively in different contexts, both for CR manifolds and for manifolds with CR singularities, for which we refer the reader to the papers [Rot], [MMZ2], [LM1], [HY1], [HY2], [HY3], [Sto], [GS] and the references therein. Solutions to the convergence problem have important applications, for example, to the biholomorphic equivalence

中文翻译：

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正式 CR 映射的收敛和发散

一个形式全纯映射 H：(M,p)!M ′ 从实解析子流形 M⊂C 在 p∈M 的胚芽到实解析子集 M ′⊂CN ′ 是形式全纯的 N ′-元组幂级数 H=(H1, ...,HN ′) 满足 H(p)∈M ′ 的性质，对于任何实解析函数 δ(w, w) 在 H(p)∈C ′在 M ′ 上消失，形式幂级数 δ(H(z), H(z)) 在 M 上消失。有大量的例子表明形式映射可能会发散：在复杂子流形的自映射的平凡例子之后，可能最简单的非平凡例子是由 (R, 0) 到 R 的形式映射给出的，它们只是由 z∈C 中具有实系数的形式幂级数给出，即由 R[[z]] 的元素给出。首先是一个令人惊讶的事实，对于复杂空间中实子流形之间的形式映射，如果假设从适当的意义上排除上述琐碎的例子，情况就完全不同了。这种类型的第一个结果是由陈和莫泽在 [CM] 中遇到的，其中——作为它们的正常形式收敛的副产品——它遵循 C 中 Levinon 退化超曲面之间的每个正式全纯可逆映射必然收敛。收敛问题，即确定上述形式映射是否实际上是收敛的，已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文[ Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3]、[Sto]、[GS] 以及其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 情况根本不同。这种类型的第一个结果是由陈和莫泽在 [CM] 中遇到的，其中——作为它们的正常形式收敛的副产品——它遵循 C 中 Levinon 退化超曲面之间的每个正式全纯可逆映射必然收敛。收敛问题，即确定上述形式映射是否实际上是收敛的，已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文[ Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3]、[Sto]、[GS] 以及其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 情况根本不同。这种类型的第一个结果是由陈和莫泽在 [CM] 中遇到的，其中——作为它们的正常形式收敛的副产品——它遵循 C 中 Levinon 退化超曲面之间的每个正式全纯可逆映射必然收敛。收敛问题，即确定上述形式映射是否实际上是收敛的，已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文[ Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3]、[Sto]、[GS] 以及其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 这种类型的第一个结果是由陈和莫泽在 [CM] 中遇到的，其中——作为它们的正常形式收敛的副产品——它遵循 C 中 Levinon 退化超曲面之间的每个正式全纯可逆映射必然收敛。收敛问题，即确定上述形式映射是否实际上是收敛的，已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文[ Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3]、[Sto]、[GS] 以及其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 这种类型的第一个结果是由陈和莫泽在 [CM] 中遇到的，其中——作为它们的正常形式收敛的副产品——它遵循 C 中 Levinon 退化超曲面之间的每个正式全纯可逆映射必然收敛。收敛问题，即确定上述形式映射是否实际上是收敛的，已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文[ Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3]、[Sto]、[GS] 以及其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 其中——作为它们的范式收敛的副产品——它遵循 C 中 Levinon 退化超曲面之间的每个正式全纯可逆映射必然收敛。收敛问题，即确定上述形式映射是否实际上是收敛的，已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文[ Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3]、[Sto]、[GS] 以及其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 其中——作为它们的范式收敛的副产品——它遵循 C 中 Levinon 退化超曲面之间的每个正式全纯可逆映射必然收敛。收敛问题，即确定上述形式映射是否实际上是收敛的，已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文[ Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3]、[Sto]、[GS] 以及其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文 [Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3 ]、[Sto]、[GS] 和其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价 已经在不同的上下文中进行了深入研究，包括 CR 流形和具有 CR 奇点的流形，我们请读者参考论文 [Rot]、[MMZ2]、[LM1]、[HY1]、[HY2]、[HY3 ]、[Sto]、[GS] 和其中的参考文献。收敛问题的解决方案具有重要的应用，例如，双全纯等价