Using the dynamics of information propagation on a network as our illustrative example, we present and discuss a systematic approach to quantifying heterogeneity and its propagation that borrows established tools from Uncertainty Quantification, specifically, the use of Polynomial Chaos. The crucial assumption underlying this mathematical and computational “technology transfer” is that the evolving states of the nodes in a network quickly become correlated with the corresponding node “identities”: features of the nodes imparted by the network structure (e.g. the node degree, the node clustering coefficient). The node dynamics thus depend on heterogeneous (rather than uncertain) parameters, whose distribution over the network results from the network structure. Knowing these distributions allows us to obtain an efficient coarse-grained representation of the network state in terms of the expansion coefficients in suitable orthogonal polynomials. This representation is closely related to mathematical/computational tools for uncertainty quantification (the Polynomial Chaos approach and its associated numerical techniques). The Polynomial Chaos coefficients provide a set of good collective variables for the observation of dynamics on a network, and subsequently, for the implementation of reduced dynamic models of it. We demonstrate this idea by performing coarse-grained computations of the nonlinear dynamics of information propagation on our illustrative network model using the Equation-Free approach.

中文翻译：

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使用多项式混沌对网络中的异构性进行建模

使用网络上信息传播的动态作为我们的说明性示例，我们提出并讨论了一种量化异质性及其传播的系统方法，该方法借用了不确定性量化中的既定工具，特别是多项式混沌的使用。这种数学和计算“技术转移”背后的关键假设是，网络中节点的演化状态迅速与相应的节点“身份”相关联：网络结构赋予的节点特征（例如节点度、节点聚类系数）。因此，节点动态取决于异构（而非不确定）参数，其在网络上的分布由网络结构决定。了解这些分布使我们能够根据合适的正交多项式中的展开系数获得网络状态的有效粗粒度表示。这种表示与不确定性量化的数学/计算工具（多项式混沌方法及其相关的数值技术）密切相关。多项式混沌系数提供了一组良好的集体变量，用于观察网络上的动态，并随后用于实现其简化的动态模型。我们通过使用无方程方法对我们的说明性网络模型执行信息传播的非线性动力学的粗粒度计算来证明这一想法。这种表示与不确定性量化的数学/计算工具（多项式混沌方法及其相关的数值技术）密切相关。多项式混沌系数提供了一组良好的集体变量，用于观察网络上的动态，并随后用于实现其简化的动态模型。我们通过使用无方程方法对我们的说明性网络模型执行信息传播的非线性动力学的粗粒度计算来证明这一想法。这种表示与不确定性量化的数学/计算工具（多项式混沌方法及其相关的数值技术）密切相关。多项式混沌系数提供了一组良好的集体变量，用于观察网络上的动态，并随后用于实现其简化的动态模型。我们通过使用无方程方法对我们的说明性网络模型执行信息传播的非线性动力学的粗粒度计算来证明这一想法。随后，用于实现它的简化动态模型。我们通过使用无方程方法对我们的说明性网络模型执行信息传播的非线性动力学的粗粒度计算来证明这一想法。随后，用于实现它的简化动态模型。我们通过使用无方程方法对我们的说明性网络模型执行信息传播的非线性动力学的粗粒度计算来证明这一想法。