We introduce a general strategy for proving quantitative and uniform bounds on the number of common points of height zero for a pair of inequivalent height functions on $\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}).$ We apply this strategy to prove a conjecture of Bogomolov, Fu, and Tschinkel asserting uniform bounds on the number of common torsion points of elliptic curves in the case of two Legendre curves over $\mathbb{C}$. As a consequence, we obtain two uniform bounds for a two-dimensional family of genus 2 curves: a uniform Manin-Mumford bound for the family over $\mathbb{C}$, and a uniform Bogomolov bound for the family over $\overline{\mathbb{Q}}.$

中文翻译：

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属 2 曲线家族的 Uniform Manin-Mumford

我们介绍了一种通用策略，用于证明 $\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}) 上一对不等价高度函数的高度为零的公共点数量的定量和统一边界。应用此策略来证明 Bogomolov、Fu 和 Tschinkel 的猜想，在 $\mathbb{C}$ 上的两条勒让德曲线的情况下，椭圆曲线的公共扭转点数断言一致边界。因此，我们获得了属 2 曲线的二维族的两个统一边界：$\mathbb{C}$ 上的家庭的统一 Manin-Mumford 界，以及 $\overline 上的家庭的统一 Bogomolov 界{\mathbb{Q}}.$