In this article, we consider and analyse a small variant of a functional originally introduced in \cite{BLS,LS} to approximate the (geometric) planar Steiner problem. This functional depends on a small parameter $\varepsilon>0$ and resembles the (scalar) Ginzburg-Landau functional from phase transitions. In a first part, we prove existence and regularity of minimizers for this functional. Then we provide a detailed analysis of their behavior as $\varepsilon\to0$, showing in particular that sublevel sets Hausdorff converge to optimal Steiner sets. Applications to the average distance problem and optimal compliance are also discussed.

中文翻译：

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关于平面 Steiner 问题的相场近似：极小值的存在性、规律性和渐近性

在本文中，我们考虑并分析了最初在 \cite{BLS,LS} 中引入的泛函的一个小变体，以近似（几何）平面 Steiner 问题。这个泛函取决于一个小参数 $\varepsilon>0$ 并且类似于相变中的（标量）Ginzburg-Landau 泛函。在第一部分，我们证明了这个函数的极小值的存在性和规律性。然后我们详细分析了它们的行为作为 $\varepsilon\to0$，特别表明子级集 Hausdorff 收敛到最优 Steiner 集。还讨论了平均距离问题和最佳合规性的应用。